infinitamente muchos ideales

Question

¿el anillo

$\Bbb Z_2[x]$ tiene infinidad de ideales como la $\Bbb Z[x]$?

¿Cómo saber si un anillo tiene un número finito de ideales. particularmente preguntando acerca aparentemente grandes anillos.

Answer 1

Este caso es fácil:

$$\{(x),(x^2),\ldots,(x^n),\ldots\}$$

Los ideales de este conjunto de todos son diferentes porque $x^j\notin (x^k)$ al $k>j$.

Answer 2

Sí, tiene infinitamente muchos, básicamente si $f$ $g$ tienen diferentes grados, a continuación, $(f)$ es diferente de $(g)$. De modo que al menos uno por cada $n\in\mathbb N$.

Answer 3

Incluso tiene un número infinito de primer ideales (por cada grado de $n$ no es un polinomio irreducible de grado $n$).

Answer 4

el homomorphism $\phi:\Bbb Z \to \Bbb Z_2$ se extiende a un homomorphism $\phi':\Bbb Z[x] \to \Bbb Z_2[x]$ mediante el establecimiento $\phi'(x)=x$. el núcleo de este mapa es el ideal de la $2\Bbb Z[x]$ que es primo, por lo $\Bbb Z_2[x]$ es una parte integral de dominio. además desde $\phi$ es surjective que se asigna a los ideales en el dominio de ideales de su imagen, por lo que cualquier ideal de $\Bbb Z[x]$ que no está contenida en $2\Bbb Z[x]$ mapa a un no-cero ideal en $\Bbb Z_2[x]$. en el lenguaje informal, a pesar de $\phi$ sin duda reduce la diversidad de ideales, todavía hay un montón de la izquierda.