Valoraciones sobre los campos de número de

Question

Estoy tratando de calcular explícitamente representaciones modulares de algunos grupos finitos -- el ejemplo lo más fácil para discutir es el grupo cíclico $C_3$ al $p=3$. Los tres ordinario irreductible módulos para $C_3$, que puede ser realizado más de la Eisenstein racionales $\mathbb{Q}(\omega)$, todos somos uno-dimensional y tienen caracteres $1,\omega$ $\omega^2$ respectivamente.

Quiero saber cómo "reducir" estas tres representaciones modulo 3. Yo sé de la teoría general de que sólo hay un módulo sencillo para $C_3$ en el carácter de los tres (el trivial de la representación), y también sé que cada uno de los tres irreducibles de arriba debe reducir a la representación trivial.

La teoría general de Brauer etc dice a elegir un campo de $K$, la cual se completa con respecto a algunos de valoración, cuya valoración anillo de $\mathcal{O}$ ha residuo de campo $k$ con carácter 3. Nosotros, a continuación, realice un procedimiento de reducción a su vez las representaciones sobre $K$ en representación $k$.

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Entiendo que necesitamos para tomar $K=\mathbb{Q}(\omega)$.

• Debemos tomar nuestra valoración $\nu$ a los 3-ádico de valoración?
• En ese caso, ¿qué es el 3-ádico de valoración de un elemento arbitrario de $K$?
• ¿Qué es $\mathcal{O}$? (Este debe ser el conjunto de elementos de la $x$$\nu(x)\geq 0$?)
• ¿Cuál es el ideal maximal $\mathfrak{m}$$\mathcal{O}$? (Este debe ser el conjunto de elementos de la $x$$\nu(x)>0$?)
• ¿Qué es $k$?
• ¿Cómo podemos realizar este procedimiento de reducción a mostrar que las tres representaciones sobre todo, de reducir a la representación trivial?

Answer 1

Sí, vamos a tomar el $3$-ádico de valoración en $K$. En realidad, esto no acaba de tener sentido: el $3$-ádico de valoración se define en $\mathbb Q$, no en $K$, y lo que en realidad lo vamos a tener que elegir algunos de extensión de a $K$.

¿Cómo podemos determinar cuáles son las posibles extensiones? Bien, vamos a considerar primero el anillo de enteros $\mathcal O_K$$K$; este es el anillo de $\mathbb Z[\omega]$. Ahora consideramos el primer ideal $3\mathcal O_K$, y determinar cómo los factores. Cada primer factor da una extensión de la $3$-ádico de valoración en $\mathbb Q$ a una valoración en $K$.

En nuestro caso particular, $3\mathcal O_K$ es un cuadrado: $(1-\omega)^2 = 1 +\omega^2 - 2\omega = - 3\omega,$$\bigl((1-\omega)\mathcal O_K\bigr)^2 = 3\mathcal O_K$.

Así que hay un único primer ideal dividiendo $3\mathcal O_K$, es decir,$(1-\omega)\mathcal O_K$, por lo que este determina la extensión única de la $3$-ádico de valoración en $\mathbb Q$ a una valoración en $K$. ¿Cómo es esto de valoración definidos, de manera explícita? Bien, dado $x \in K\setminus \{0\}$, escribir $x = a/b$ con $a, b \in \mathcal O_K$ (como podemos, ya que $K$ es la fracción de campo de $\mathcal O_K$). La valoración $v(x)$ será la diferencia de $v(a) - v(b)$. Así que se reducen para el cómputo de la valoración $v(a)$$a \in \mathcal O_K\setminus \{0\}$. Esto es definido por la configuración de $v(a)$ a ser el más grande número natural $n$ tal que $a \in (1-\omega)^n\mathcal O_K$, o, si se prefiere, en la mayor $n$ tal que $(1 - \omega)^n$ divide $a$.

Ahora nos podría completar $K$ con respecto a esta valoración, pero que no es realmente necesario. Si hiciéramos eso, obtendríamos el campo de $\mathbb Q_3[\omega]$ (donde $\mathbb Q_3$ es el campo de $3$-ádico números, es decir, la realización de $\mathbb Q$ w.r.t. el $3$-ádico de valoración). Sin embargo, voy a omitir esta paso, ya que no es necesario, y añade una capa extra de equipaje a la discusión.

Así que voy a considerar $K$ sí como los valores de campo. Es fácil ver que, con la anterior descripción de $v$, que la valoración anillo de $\mathcal O$ se obtiene partiendo de $\mathcal O_K$, y junto a la $1/a$ por cada elemento de a $a \in \mathcal O_K$ que no está en $(1-\omega)\mathcal O_K$. (En álgebra conmutativa términos, es la localización de $\mathcal O_K$ en el primer ideal $(1-\omega)\mathcal O_K$.) El máximo ideal es precisamente el ideal de $(1-\omega)\mathcal O$.

Finalmente, llegamos al punto clave: cuando reducimos el modulo el ideal maximal de a $\mathcal O$, podemos establecer $\omega \equiv 1$ (desde el máximo ideal es generado por $1 - \omega$), y para la no-trivial personajes se congruente con el carácter trivial.

Si reemplazamos $3$ $p$ (por lo $C_p$ en lugar de $C_3$ etc.) el mismo cálculo iba a ir a través de: la máxima ideal en $\mathcal O$ sería generado por $1-\zeta_p$, y por lo tanto, todos los personajes de $C_p$ reducir el carácter trivial.