¿Cómo evaluar la multiplicación $f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdots f(15)$, mediante la formulación?

Question

Supongamos que

$$f : \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{R}$$

$$f(x) = 1-\dfrac{1}{x^2}$$

¿Cómo evaluar la multiplicación $\prod_{i=2}^{15} f(i)=f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdots f(15)$?

Aquí tengo que ver el truco que directamente se obtiene el cálculo.

¿Cómo es que escribimos esto, el uso de $\Pi$ (producto) notación? Estaré encantado de escuchar tu querida pensamientos.

Answer 1

Sugerencia: $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$
y tomar el producto de $f(2),f(3),...,f(n)$

Mira: $$ \frac{(1)(3)}{2^2} \cdot \frac{(2)(4)}{3^2} \cdot \frac{(3)(5)}{4^2} \cdot ... \frac{(n-3)(n-1)}{(n-2)^2} \cdot \frac{(n-2)n}{(n-1)^2} \cdot \frac{(n-1)(n+1)}{n^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+1}{n} $$ y tomar esto para su tarea

Answer 2

También es conveniente usar la notación factorial $n!=1\cdot2\cdots n$. Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\prod_{i=2}^{15}f(i)}&=\prod_{i=2}^{15}\left(1-\frac{1}{i^2}\right)\\ &=\prod_{i=2}^{15}\frac{i^2-1}{i^2}\\ &=\prod_{i=2}^{15}\frac{(i-1)(i+1)}{i^2}\\ &=\frac{14!\cdot 16!/2}{\left(15!\right)^2}\tag{1}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{8}{15}}\tag{2} \end{align*}

Comentario:

• En (1) se utiliza la $\prod_{i=2}^{15}(i-1)=1\cdot 2\cdots 14=14!$ e $\prod_{i=2}^{15}(i+1)=3\cdot4\cdots 16=\frac{1}{2}\cdot 16!$.

• En (2) vemos que $14!/15!=1/15$ e $16!/15!=16$.