¿Por qué la familia de semialgebras (también conocidas como semianillos) de conjuntos no es cerrada bajo intersección?

Question

1. Un enlace dice:

   Cualquier tipo de estructura algebraica sobre subconjuntos de $S$ que se define puramente en términos de propiedades de cierre se conservará bajo intersección. Algunos ejemplos son las -álgebras, los -sistemas, los -sistemas o las clases monótonas de subconjuntos.

   ...

   Nótese, sin embargo, que esto no se aplica a las semibalgebras, porque las semibébras no se definen puramente en términos de propiedades de cierre de cierre ( la condición en $A^c$ no es una propiedad de cierre ).

   ...

   $S$ se dice que es una semiálgebra si es cerrada bajo la intersección y si los complementos pueden escribirse como uniones finitas y disjuntas:

   • Si $A,BS$ entonces $ABS$ .
   • Si $AS$ entonces existe una colección finita y disjunta $\{B_i:iI\}S$ tal que $A^c=_{iI} B_i$ .

   En "la condición sobre $A^c$ no es una propiedad de cierre",

   • ¿qué significa "la condición de una operación de conjunto como la toma de complemento no es una propiedad de cierre"?

   • ¿Qué significa "propiedades de cierre"?

   ¿Cómo ves que la familia de semialgebras (también conocidas como semianillos) de conjuntos no es cerrada bajo intersección?

2. Michael Greinecker también comentó: La familia de semianillos de un conjunto no son cerradas bajo intersecciones.

   Por cierto, si estoy en lo cierto el concepto de semi-álgebra de conjuntos es el mismo que el de semi-anillo de conjuntos en Wikipedia .

Gracias y saludos.

Answer 1

Las propiedades de cierre pueden formularse en términos de conceptos del álgebra universal. Sea $X$ sea el conjunto subyacente (en nuestros ejemplos, $X$ es una familia de conjuntos propia). Sea $I$ sea un conjunto de índices, $(\kappa_i)_{i\in I}$ sea una familia de números cardinales y $(f_i)_{i\in I}$ una familia de funciones que satisfacen $f_i:X^{\kappa_i}\to X$ para todos $i$ . Decimos que $C\subseteq X$ es cerrado bajo $(f_i)_{i\in I}$ si tenemos para todos $i\in I$ que $f_i(x)\in C$ para todos $x\in C^{\kappa_i}$ . Se puede demostrar que la familia de conjuntos cerrados bajo $(f_i)_{i\in I}$ forma un Colección Moore .

Veamos un ejemplo: Dejemos que $U$ sea un conjunto y $X\subseteq 2^U$ . Dejamos que $I=\{s,c,u\}$ , $\kappa_s=0$ , $\kappa_c=1$ y $\kappa_u=\omega$ . Identificamos las constantes y las funciones nulas, por lo que podemos dejar $f_s=U$ . Dejamos que $f_c(A)=A^C$ para todos $A\in X$ y dejamos que $f_u(A_0,A_1,\ldots)=\bigcup_n A_n$ . Que $X$ es cerrado bajo estas tres funciones significa simplemente que contiene $X$ es cerrado bajo complementos y uniones contables- es un $\sigma$ -Álgebra.

Ahora bien, no se pueden escribir las semibragas de esta manera, ya que no existe una descomposición única del complemento en conjuntos disjuntos. Si $\mathcal{S}$ es una semi-álgebra y $A\in\mathcal{S}$ Entonces, hay existe un número $n$ y establece $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{S}$ que son disjuntos y tales que $A_c=B_1\cup\ldots\cup B_n$ . Ahora bien, si existe una única familia de este tipo y si esta familia sólo depende de $A$ podríamos escribir esta propiedad como cierre bajo algunas funciones de la siguiente manera: Dejamos que $f_{c_1}=B_1,\ldots, f_{c_n}=B_n$ y para $m>n$ dejamos que $f_{c_m}=f_{c_n}$ . Utilizamos la última condición porque no tenemos un límite a priori sobre el número de conjuntos necesarios. Pero estos conjuntos son no en función de $A$ por lo que esta propiedad no puede ser vista como una propiedad de cierre.

He aquí un ejemplo explícito (tomado de Alprantis y Border) que muestra que la intersección de semibragas puede no ser una semibarra: Sea $X=\{0,1,2\}$ , $\mathcal{S}_1=\big\{\emptyset, X,\{0\},\{1\},\{2\}\big\}$ , $\mathcal{S}_2=\big\{\emptyset, X,\{0\},\{1,2\}\big\}$ y $A=\{0\}$ . Tenemos $\mathcal{S}_1\cap\mathcal{S}_2=\big\{X,\emptyset,\{0\}\big\}$ y $A^C=\{0\}^C=\{1,2\}$ no es la unión disjunta de los elementos de esta intersección.