Cuando nos referimos a la topología de un espacio métrico $S$ , ¿nos referimos a la topología generada por la apertura de la bola?

Question

Me acabo de enterar de una throrem que establece que : Un espacio métrico tiene la estructura de un espacio topológico en el que la abra conjuntos son los sindicatos de bolas .

Pero el teorema sólo me dijo que no "existen" una topología con respecto a la métrica.Cuando nos referimos a la topología de un espacio métrico $S$ , ¿nos referimos a la topología generada por la apertura de la bola ?

Answer 1

Sí, un espacio métrico $(S, d)$ induce una topología $\mathcal{T}$ el cual es generado por la base de $$\mathcal{B} = \{B(x, r) \ | \ x \in S \ \text{ and } \ r > 0\}$$

Cuando los autores se refieren a la topología en este espacio métrico $(S, d)$, que por lo general significa que la topología $\mathcal{T}$ por encima de, que se puede considerar como la topología generada por la apertura de bolas.

Answer 2

Sí. Así que se puede decir que un conjunto $U$ es abierto si para cada una de las $x\in U$, existe una bola abierta $B(x,r)$ centrado en $x$ con $B(x,r)\subset U$.