Deje $S = \{n\in\mathbb{N}\mid 133 \text{ divides } 3^n + 1\}$. Encontrar tres elementos de S.

Question

Pregunta:
Deje $S = \{n\in\mathbb{N}\mid 133 \;\text{divides} \; 3^n + 1\}$
$a)$ Encontrar tres elementos diferentes de $S$.
$b)$ Demostrar que $S$ es un conjunto infinito.

Mi intuición es encontrar los factores primos de a$133$,$7$$19$. Sin embargo, yo entonces no tienen idea de qué hacer? Cualquier Sugerencias? Muchas gracias, D.

Answer 1

Como una respuesta a la parte b, si hay 3 diferentes números enteros positivos $(a,b,c)$ que satisfacen la condición, entonces do $a+b+c$. Porque

$$3^a\equiv -1 \pmod {133}\\3^b\equiv -1 \pmod {133}\\3^c\equiv -1 \pmod {133}$$

y por la multiplicación de la propiedad de modular el funcionamiento tenemos

$$3^{a+b+c}\equiv (-1).(-1).(-1)\equiv -1 \pmod {133}$$ , $a+b+c\ne\ a,b, c$

Por lo tanto, tenemos un nuevo número entero positivo y si el nuevo número se llama $d$, entonces el mismo proceso se puede hacer, con un nuevo triple de tiempo de ($a,b,d$ por ejemplo), para encontrar un nuevo número que sería mayor que todos ellos.

Ahora, para hacer una contradicción, supongamos que el conjunto de todos los enteros $S$ es un conjunto limitado. Lo primero que necesitamos para ordenar en orden ascendente con el fin de encontrar tres elementos que son más grandes que los otros. Nombre de $a,b,c$. Haciendo el mencionado proceso, nos encontramos con un elemento $d$ que es estrictamente mayor que $a,b,c$. Por eso, $d$ no está en el conjunto $S$ y esto es una contradicción con el hecho de que $d$ realmente satisface la condición.

Answer 2

Para (b), es claro que si $S$ es no vacío, entonces es infinito porque $n_0+\phi(133)\mathbb Z \subseteq S$ si $n_0 \in S$.

Answer 3

Usar el teorema de Euler. Usted sabe que $133 = 7 \cdot 19$, lo $\phi(133) = 133 (1 - 1 / 3) \cdot (1 - 1 / 19) = 108$.

Desea $n$ tal que $3^n + 1 \equiv 0 \pmod{133}$, que (al cuadrado) es $3^{2 n} \equiv 1 \pmod{133}$. Ahora $\gcd(3, 133) = 1$, de modo que por el teorema de Euler $3^{108} \equiv 1 \pmod{133}$. Todo lo que necesitas es $n$ tal que $3^n \equiv -1 \pmod{133}$,$S = \{ n + 108 k \mid k \in \mathbb{N}_0 \}$.

Lo que sabemos es que $3^{108} \equiv 1 \pmod{133}$, por lo que los candidatos para $n$ son los divisores de $108/2 = 2 \cdot 3^3$, que se $1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54$. Podemos eliminar $1, 2, 3$ directamente. $3^6 \equiv 64$, e $3^9 \equiv -1 \pmod{133}$. Conjunto de se $S = \{ 3 + 108 k \mid k \in \mathbb{N}_0 \}$, i. e., $S = \{9, 117, 225 \dotsc \}$

(La mayoría de los calcultions marcada con confianza bc(1) bajo Fedora).

Answer 4

$3^3\equiv-1\pmod7\implies3^{3(2m+1)}\equiv-1$ para algunos entero $m$

Ahora $3^3\equiv8\pmod{19},3^6\equiv8^2\equiv7\implies3^9=3^6\cdot3^3\equiv7\cdot8\equiv-1$

$\implies3^{\text{lcm}(3,9)}\equiv-1\pmod{\text{lcm}(7,19)}$

$\implies3^9\equiv-1\pmod{133}\implies3^{9(2n+1)}\equiv-1$ para algunos entero $n$

$\implies3^{18}=(3^9)^2\equiv(-1)^2\pmod{133}\equiv1$

Por eso, $S = \{ 9 + 18 k \mid k \in \mathbb{N}_0 \}$

Alternativamente necesitamos, $6m+3=18n+9\iff m=3n+1$