Límite inferior en la norma de producto de dos matrices

Question

Deje $\vert \vert . \vert \vert$ ser la 2-norma. Dado que esta norma es submultiplicative, sabemos que para cualquier par de matrices cuadradas $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$,

$$\vert \vert A B \vert \vert \leq \vert\vert A \vert \vert \vert \vert B \vert \vert \leq \sigma_{\textrm{max}}(A) \vert \vert B \vert \vert.$$

Lo que estoy buscando es una desigualdad de la forma

$$\sigma_{\textrm{min}}(A) \vert \vert B \vert \vert \leq \vert \vert A B \vert \vert.$$

La primera desigualdad es verdadera debido a que esta norma simplemente satisface la submultiplicative de la propiedad. Pero, ¿qué acerca de la segunda desigualdad? Es esto cierto? Y si no, sólo es cierto para el tipo especial de matrices?

Answer 1

La desigualdad es verdadera. Es obvio al $A$ es singular. Al $A$ es invertible, para cualquier vector unitario $x$,$\|x^TA\|\ge\sigma_\min(A)$. Por lo tanto $$\begin{align} \|AB\| &= \max_{\|x\|=1} \|x^TAB\|\\ &= \max_{\|x\|=1} \|x^TA\|\left\|\frac{x^TA}{\|x^TA\|}B\right\|\tag{1}\\ &\ge \max_{\|x\|=1} \sigma_\min(A)\left\|\frac{x^TA}{\|x^TA\|}B\right\|\\ &= \max_{\|y\|=1} \sigma_\min(A)\left\|y^TB\right\|\tag{2}\\ &= \sigma_\min(A)\|B\|, \end{align}$$ donde hemos utilizado el supuesto de que $A$ es invertible en a $(1)$ (de modo que podemos dividir por $\|x^TA\|\neq0$) y $(2)$ (de modo que todos los $x$ corresponde a un único $y$ y viceversa).