Los números complejos $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^k = 1$ lo $k$?

Question

El más pequeño posible entero $k$ que $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^k = 1$ es?

Traté de resolver esto, pero mi respuesta no coincide con la respuesta. Me corrija si estoy equivocado en algún lugar

Mi solución:

$$\begin{align} \left(\frac{1+i}{1-i}.\frac{1+i}{1+i}\right)^k&= 1\\ \left(\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}\right)^k&= 1\\ \left(\frac{1+2i-1}{1-(-1)}\right)^k&= 1\\ \left(\frac{2i}{2}\right)^k&= 1\\ i^k&= 1\\ i^4&= 1\\ \end{align}$$

EDIT: La cuestión es parte de las opciones múltiples de la sección y la respuesta es 2. Otras opciones incluyen: 4, 8, 16

Answer 1

Su respuesta se ve bien. A pesar de $4$ no es el entero más pequeño tal que $i^k=1$, no estoy muy seguro de qué respuesta se supone que se debe dar, ya que no hay el más pequeño entero $k$ con $i^k=1$ ($k$ es un múltiplo de a $4$, pero podría ser $-4$, $-8$, $-12$, etcétera).

Answer 2

También puede intentarlo por: $$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^k = i^k =e^{i{\frac{k\pi}{2}}}= 1 \Rightarrow k=4,8,12，16，……$$

Answer 3

Desde:

$$e^{i \pi}+1=0$$ : La Identidad de Euler

Y,

$$e^{k i \pi} = -1$$ when $$k \in odd \mathbb{Z}$$

y,

$$e^{k i \pi} = 1$$ when $$k \in even \mathbb{Z}$$

Podemos simplificar como se muestra por "Xin Fu"

Y para cualquier entero dividido por 2, que produce un número será igual a 1

Answer 4

El resultado $k=4$ es correcta. El dado de opción múltiple de respuesta $k=2$ es errónea, ya que $$\begin{align*} \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2=i^2=-1\ne 1 \end{align*}$$

Answer 5

$(\frac {1+i}{1-i})^k=1$

$(1+i)^k = (1-i)^k$

$\sum_{j=0}^k {k\choose j}i^j = \sum_{j=0}^k {k\choose j}i^j*(-1)^j$

Como $(-1)^{even} = 1$ $(-1)^{odd} = -1$

$\sum_{j=0;j odd}{k\choose j}i^j =0$

Como $i^{4k + 1} = i$ $i^{4k - 1} = -i$

necesitamos encontrar el más pequeño de $k$ donde $\sum_{h=0}^{4h+1 \le k}{k\choose 4h+1} =\sum_{h=1}^{4h-1 \le k}{k\choose 4h-1}$.

${k \choose 4h -1} = {k\choose k -4h + 1}$ así que si $k = 4m$ $g = m-h$ tendremos ${k\choose 4h -1} = {k \choose k - 4h + 1} = {k\choose 4(m-h) + 1} = {k\choose 4g + 1}$ cualquier $k = 4m$ será una solución para $k =4$ será una solución.

Es fácil demostrar directamente que $k = 1,2,3$ no son:

$1 + i \ne 1 -i$

$(1+i)^2 =1 + 2i -1 \ne 1 - 2i -1 =(1-i)^2$

$(1+i)^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3 = -2 + 2i \ne 2-2i = 1 - 3i + 3i^2 -i^3 = (1+i)^3$

Sin embargo $(1 + i)^4 = 1 + 4i + 6i^2 + 4i^3 + i^4 = 1 - 4i^3 + 6i^2 - 4i + i^4 = 1 - 4i + 6i^2 - 4i^3 + i^4 = (1 - i)^4$.