$S_4/V_4$ isomorfo a $S_3$ - Comprender las tablas adjuntas

Question

Creo que veo $ S_4/V_4 \cong S_3 $ de la primera tabla de abajo marcada en verde. Simplemente ignoro $ V_4 $ y pensar en ello como mapeado por la bijección $ f^{-1} $ donde $ f(s) = s V_4 \iff f^{-1}(\sigma V_4) = s \in S_3 $ Pero, ¿por qué sólo computan $\{S_3\}V_4 $ ? Por definición, $ S_4/V_4 = \{sV_4 : s \in S_4\} $ . ¿Dónde están el resto de los elementos en $ S_4/V_4 $ como $(2, 1, 3, 4)V_4, (2, 1, 4, 3)V_4, (2, 3, 1, 4)V_4 $ ¿...etc.?

No veo "Las filas son los cosets de $V_4 $ en $S_4$ ." ¿Puede alguien mostrarme esto, por favor? Por ejemplo, la tercera fila de la tabla marcada en azul consta de $(1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4) \notin V_4 $ .

No puedo ver $ S_4/V_4 \cong S_3 $ de la segunda tabla. ¿Puede alguien explicarlo, por favor? Gracias.

Answer 1

Supongo que por $\,Z_4\,$ en realidad te refieres al Klein viergrupp

$$C_2\times C_2\cong \{(1)\,,\,(12)(34)\,,\,(13)(24)\,,\,(14)(23)\}$$

ya que el anterior es el único normal subgrupo de orden $\,4\,$ de $\,S_4\,$ pero entonces, como el grupo cíclico de orden $\,6\,$ es obviamente abeliano, obtenemos

$$S_4/Z_4\cong C_6\Longleftrightarrow S_4^{'}\leq Z_4$$

y esto es falso ya que $\,(123)\notin Z_4\,$ pero $\,(123)\in A_4=S_4^{'}\,$ .

Así, como el sólo otro grupo de orden $\,6\,$ hasta el isomorfismo, es $\,S_3\,$ obtenemos que $\,S_4/Z_4\cong S_3\,$

Answer 2

Un coset de $V_4$ es un conjunto $gV_4=\{gv:v\in V_4\}$ . Así que, de hecho, cualquier coset de $V_4$ formado por un $g\in G$ que no está en $V_4$ no contendrá ningún elemento de $V_4$ . (Esto es fácil de demostrar; pruébalo).

DonAntonio te ha mostrado una forma algo avanzada de ver cómo $S_3\cong S_4/V_4$ pero teniendo en cuenta sus preguntas para nosotros, creo que la mejor manera de verlo, en este momento, sería escribir el isomorfismo real $\mu:S_4/V_4\rightarrow S_3$ . Utiliza los cosets que te han dado. Asegúrate de que sabes cómo funciona la multiplicación de cosets - $(gV_4)(hV_4)=(gh)V_4$ . Quizás tengas que volver a repasar algunas definiciones.

Answer 3

¿Dónde están el resto de los elementos de $S_4/V_4$ ? Intenta calcular uno de ellos. Verás que es igual a uno de los cosets ya listados en la sección verde. (Recuerda que el orden de los elementos de un conjunto no importa, y también que reciclar los elementos de un ciclo tampoco lo cambia: (1,2,4,3) = (2,4,3,1) = (4,3,1,2) = (3,1,2,4)).