Probabilidad de la pareja

Question

El problema dice que hay 12 chicos y 12 chicas. Cada chico elige una chica al azar y cada chica elige un chico al azar. Si un chico y una chica se eligen mutuamente, forman una pareja. A continuación se pide encontrar la probabilidad de que no se forme ninguna pareja.

¿Cómo debemos abordar estos problemas? Tengo un indicio de los desórdenes, pero no soy capaz de aplicarlo. Por favor, ayúdenme. Gracias.

Answer 1

Generalizando el resultado de Studentmath a $n$ niños y $n$ chicas, tenemos la probabilidad de que al menos una coincidencia sea

$$\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}k\frac{n!}{n^{2k}(n-k)!}=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}k^2\frac{k!}{n^{2k}}=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\left(\frac{n-i}n\right)^2\;;$$

llamar a esto $p_n$ . Obsérvese que los primeros términos son

$$1-\frac{(n-1)^2}{2!n^2}+\frac{(n-1)^2(n-2)^2}{3!n^4}-\frac{(n-1)^2(n-2)^2(n-3)^2}{4!n^6}\;,$$

o aproximadamente

$$1-\frac1{2!}+\frac1{3!}-\frac1{4!}$$

cuando $n$ es grande. Fijar un número entero positivo $m$ . Claramente $$\prod_{i=0}^{k-1}\left(\frac{n-i}n\right)^2$$ disminuye a medida que $k$ aumenta de $1$ a $n$ Así que

$$\left|\sum_{k=m+1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}k^2\frac{k!}{n^{2k}}\right|\le\frac1{(m+1)!}\prod_{i=0}^m\left(\frac{n-i}n\right)^2<\frac1{(m+1)!}\;.$$

Al tomar $n$ suficientemente grande, podemos hacer la aproximación

$$\sum_{k=1}^m(-1)^{k-1}\binom{n}k^2\frac{k!}{n^{2k}}\approx\sum_{k=1}^m\frac{(-1)^{k-1}}{k!}$$

tan cerca como queramos y, por lo tanto, conseguir

$$\left|p_n-\sum_{k=1}^m\frac{(-1)^{k-1}}{k!}\right|<\frac1{(m+1)!}\;.$$

Finalmente, $$\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^{k-1}}{k!}=1-\frac1e\;,$$

así que $p_n\to1-\dfrac1e$ como $n\to\infty$ y la probabilidad de no obtener ninguna coincidencia se aproxima a $\dfrac1e$ .

Answer 2

Probablemente la mejor manera de resolver esta cuestión es calcular la probabilidad de completar por inclusión-exclusión, ya que aquí hay demasiadas dependencias. No nos dará un buen resultado inmediato, pero sí una buena suma que es fácil de usar en este caso.

Basta con considerar un lado, es decir, sólo las chicas o los chicos, a la hora de comprobar cuántas parejas se han formado. Así pues, dejemos que $E_i$ sea el evento en el que el $i$ La chica está en pareja. Para un determinado $i$ , ella tiene $12$ opciones de elección, y cada una de ellas tiene $12$ opciones de elección también - que meanst $12^2$ opciones de elección en total para un $i$ . De ellos, hay 12 maneras de formar una pareja - cada uno con un chico diferente. Así que tenemos:

$$P(E_i)=\frac{12}{12^2}$$

Buscamos $P(E_1\cup E_2 \cup \dots\cup E_{12})$ .

También tenemos para $i\neq j$ :

$$P(E_i\cap E_j)=\frac{12*11}{12^2*12^2}=\frac{12*11}{12^4}$$

Como el segundo tiene 11 opciones relevantes del total $12^2$ . Siguiendo este camino, llegamos a través de la inclusión/exclusión:

$$P(E_1\cup E_2 \cup \dots\cup E_{12})=\sum_{i=1}^{12}(-1)^{i-1} {12\choose i}\frac{12*11*\dots *(12-i+1)}{12^{2i}}$$

Lo cual no es tan malo de computar. Para más ejercicio, intenta extender esta suma para el caso de $n$ niños y $n$ chicas.

Answer 3

Un esfuerzo que es un $\epsilon$ progreso (tal vez) en el intento de solucionarlo.

Las elecciones de los chicos inducen una 12-tupla $x_1, x_2, \ldots, x_{12}$ donde $x_i$ denota el número de chicos que han elegido chica $i$ , de tal manera que $$x_1+x_2+\ldots+x_{12}=12$$ Ahora, chica $1$ puede elegir $12-x_1$ nombres (sin formar pareja) y así sucesivamente, de manera que la probabilidad de no formar pareja dado la 12-tupla del $x_i$ es $$\begin{align*}\frac{(12-x_1)(12-x_2)\ldots(12-x_{12})}{12^{12}}=\left(1-\frac{x_1}{12}\right)\left(1-\frac{x_2}{12}\right)\ldots\left(1-\frac{x_{12}}{12}\right)\end{align*}$$ La probabilidad de una determinada 12-tupla $x_1,x_2, \ldots, x_{12}$ es igual a $$\left(\dfrac{1}{12}\right)^{x_1}\left(\dfrac{1}{12}\right)^{x_2}\ldots\left(\dfrac{1}{12}\right)^{x_n}=\left(\dfrac{1}{12}\right)^{\sum_{i=1}^{12}x_i}=\left(\dfrac{1}{12}\right)^{12}$$ es decir, cada 12-tupla es equiprobable. Por lo tanto, la probabilidad solicitada es igual a $$\sum_{x \in S}\left(\dfrac{1}{12}\right)^{12}\left(1-\frac{x_1}{12}\right)\left(1-\frac{x_2}{12}\right)\ldots\left(1-\frac{x_{12}}{12}\right)$$

donde $$S:=\{x\in\mathbb R^{12}: \sum_{i=1}^{12}x_i=12, x_i \in \mathbb N\}$$

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Por supuesto, hay $12^{12}$ diferentes elementos en $S$ . Sin embargo, no nos interesa la posición relativa de los números en la 12-tupla, sino sólo sus valores absolutos, ya que, por ejemplo, las 12-tuplas $(11,1,0,\ldots,0)$ y $(1,0,11,0,\ldots,0)$ inducirá el mismo resultado. Así que, en realidad, hay que contar las diferentes 12-tuplas, sin preocuparse de su distribución (se puede suponer que los valores del $x_i$ son descendentes) y luego contar cuántos hay de cada tipo. Por ejemplo, se puede empezar con

• $(12,0,0,\ldots,0)$ y hay 12 tuplas de este tipo,
• $(11,1,0,\ldots,0)$ y hay $?$ tales tuplas,
• $(10,1,1,0,\ldots,0)$ y hay $?$ tales tuplas.
• $\ldots$
• $(1,1,1,\ldots,1)$ y hay $12!$ tales tuplas.

Sin embargo, este proceso no parece ser muy sencillo. Pero quizás exista una forma eficiente de abordar la suma (que ahora no se me ocurre).