¿Qué clase de funciones que se caracteriza por la propiedad $f[\operatorname{conv} A] \subseteq \operatorname{conv} f[A]$

Question

Es bien sabido que la inclusión $f[\overline A] \subseteq \overline{f[A]}$ (para cada subconjunto $A$) que caracteriza funciones continuas.¹

Pidiendo a preguntas similares para otras cierre de los operadores parece más bien una pregunta natural. Así que esto me lleva a la pregunta:

Vamos $X$, $Y$ son espacios vectoriales y $f\colon X\to Y$. Que funciones tiene la propiedad de $$f[\operatorname{conv} A] \subseteq \operatorname{conv} f[A]\tag{1}$$ for each $A\subseteq X$, where $\operatorname{p}$ denotes the convex hull of the set $$?

¿Y qué acerca de los siguientes bienes? $$f[\operatorname{conv} A] = \operatorname{conv} f[A]\tag{2}$$

Es relativamente fácil ver que, afín a los mapas de cumplir con dos de ellos, simplemente porque se conservan combinaciones convexas.²Pero no es inmediatamente claro si las propiedades anteriores caracterizar afín mapas. EDIT: Ahora algunos contraejemplos que muestra que (1) y (2) puede sostener por algunos mapas que no son afines fueron publicados en los comentarios. De hecho, yo diría que los contraejemplos de hacer que parezca menos probable que exista una buena caracterización de las funciones con estas propiedades.

¹Este resultado se puede encontrar en muchos libros de texto, pero hay también algunas entradas en este sitio con la prueba de este hecho. Ver Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes caracterizaciones de continuidad o $f$ es continua en a $a$ fib para cada subconjunto $A$ $X$ con $a\in \bar A$, $f(a)\in \overline{ f(A)}$.

²De hecho, una transformación afín si y sólo si se conserva combinaciones convexas. Véase: Es cada convexa lineal mapa de un afín mapa?

Answer 1

Convexidad-la preservación de las asignaciones no son necesariamente afín a menos que los requisitos adicionales que se imponen. Por ejemplo, $f : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ $f(x_1, x_2, ... x_n) = (x_1^3, 0, ... 0)$ es convexidad-preservar, pero no afín.

Por otro lado, se ha demostrado que uno-a-uno convexidad-la preservación de las asignaciones entre los espacios vectoriales $f : \mathbb R^n \to \mathbb R^m$ $n \ge 2$ son transformaciones afines.

Más información y referencias se pueden encontrar en la convexidad-la preservación de las asignaciones de paragaph en esta página de Conferencias sobre Conjuntos Convexos por Valeriu Soltan.