Área de la superficie de cono

Question

gracias por la ayuda.

Estoy tratando de encontrar el área de la superficie de un cono a través de la integración. Sé que la ecuación paramétrica de un cono es $$x=u\cos(p) \\ y=u\sin(p) \\ z=u$$

Así como un vector, $\vec{R} = \langle u\cos(p), u \sin(p), u \rangle$.

Puesto que el área es igual a la integral doble de $ds$, e $d\vec{s} = \dfrac{d\vec{R}}{du} du \times \dfrac{d\vec{R}}{dp} dp$ trabajo que:

$$\vec{ds} = u\,du \, dp \, \langle -\cos(p),-\sin(p),1\rangle \\ ds = n \, d\vec{s} \\ ds = u \, du \, dp $$

Yo esperaría que me gustaría obtener la respuesta correcta si yo integrada esta entre los límites 0 a $2\pi$ y 0 $h$, sin embargo llego $h^2\pi$ cual es incorrecto. Es posible que alguien me apunte a donde voy mal?

Answer 1

En realidad prácticamente todo bien, excepto que usted se saltó un paso importante: su vector normal a la superficie de la $ \ \vec{ds} \ $ es la correcta, pero la necesidad de integrar su longitud sobre la superficie del cono de la lámina de agua con el fin de obtener el área de la superficie.

Voy a generalizar el problema un poco, ya que la elección de las proporciones para que el cono se esconde uno de los factores en el área de la superficie de resultados. Por un cono de lámina de agua con una altura de $ \ h \ $ y un "radio de la base" $ \ r \ $ , podemos utilizar la semejanza de triángulos para encontrar la parametrización (usando la notación)

$$ x \ = \ \left( \frac{r}{h} \right) u \ \cos \ p \ \ , \ \ y \ = \ \left( \frac{r}{h} \right) u \ \sin \ p \ \ , \ \ z \ = \ u \ \ , $$

con el dominio $ \ 0 \ \le \ u \ \le \ h \ , \ 0 \ \le \ p \ < \ 2 \pi \ $ . Un "arriba" vector normal es el dado por

$$ \vec{R_u} \ \times \ \vec{R_p} \ \ " = " \ \ \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ \left( \frac{r}{h} \right) \cos \ p&\left( \frac{r}{h} \right) \sin \ p\quad&1\\ -\left( \frac{r}{h} \right) u \ \sin \ p&\left( \frac{r}{h} \right) u \ \cos \ p\quad&0\end{array}\right| $$

$$ = \ \langle \ -\left( \frac{r}{h} \right) u \ \cos \ p \ \ , \ \ -\left( \frac{r}{h} \right) u \ \sin \ p \ \ , \ \ \left( \frac{r}{h} \right)^2 u \ \rangle \ \ . $$

Así que, hasta este momento, el procedimiento está bien. Lo que se necesita ahora es la "norma" de este vector:

$$ \| \ \vec{R_u} \ \times \ \vec{R_p} \ \| \ \ = \ \ \left[ \ \left( \frac{r}{h} \right)^2 u^2 \ \cos^2 \ p \ + \ \left( \frac{r}{h} \right)^2 u^2 \ \sin^2 \ p \ + \ \left( \frac{r}{h} \right)^4 u^2 \ \right]^{1/2} \ \ . $$

$$ = \ \ \left[ \ \left( \frac{r}{h} \right)^2 u^2 \ + \ \left( \frac{r}{h} \right)^4 u^2 \ \right]^{1/2} \ = \ \left(\frac{r}{h} \right) \ \sqrt{ 1 \ + \ \left( \frac{r}{h} \right)^2 } \ \ u \ \ . $$

Es la "magnitud" de la infinitesimal parches asociados con los vectores normales que queremos integrar sobre el dominio de los parámetros. Por lo tanto,

$$ S \ \ = \ \ \int_0^{2 \pi} \int_0^h \ \left(\frac{r}{h} \right) \ \sqrt{ 1 \ + \ \left( \frac{r}{h} \right)^2 } \ \ u \ \ du \ dp $$

$$ = \ \ \left(\frac{r}{h} \right) \ \sqrt{ 1 \ + \ \left( \frac{r}{h} \right)^2 } \ \int_0^{2 \pi} dp \ \int_0^h \ u \ \ du $$

$$ = \ \left(\frac{r}{h} \right) \ \sqrt{ 1 \ + \ \left( \frac{r}{h} \right)^2 } \ \cdot \ 2 \pi \ \cdot \ \left(\frac{1}{2}u^2 \right) \vert_0^h \ \ = \ \left(\frac{r}{h} \right) \ \sqrt{ 1 \ + \ \left( \frac{r}{h} \right)^2 } \ \cdot \ \pi \ h^2 $$

$$ = \ \pi \ h \ \cdot \ \left(\frac{r}{h} \right) \ \cdot \ h \ \sqrt{ 1 \ + \ \left( \frac{r}{h} \right)^2 } \ = \ \pi \ r \ \sqrt{ r^2 \ + \ h^2 } \ \ , $$

o $ \ \pi \ $ los tiempos de la "radio de la base" los tiempos de la "altura de inclinación" del cono de la lámina de agua, como el área de la superficie se expresa frecuentemente. En el uso de la norma "cono", para que $ \ r \ = \ h \ $ , esta fórmula nos da la $ \ S \ = \ \pi \ \sqrt{2} \ h^2 \ $ , como se puede encontrar para sus cálculos, con la restauración de la omitido el paso.

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ Poner la superficie del cono en un avión. Se convierte en una "empanada/pizza slice' con $$ \mbox{radio}\quad R_{\rm pastel}\equiv \raíz{r^{2} + h^{2}} \qquad\mbox{y}\qquad\mbox{ángulo}\quad \Delta\theta \equiv {2\pi r \\raíz{r^{2} + h^{2}}} $$

\begin{align} \color{#f44}{\large\mbox{Surface}} =\half\,R_{\rm pie}^{2}\,\Delta\theta =\half\,\pars{\root{r^{2} + h^{2}}}^{2}{2\pi r \over \root{r^{2} + h^{2}}} =\color{#f44}{{\large\pi r\root{r^{2} + h^{2}}}} \end{align}

Answer 3

Usted puede calcular el área de la superficie de un toro de la siguiente manera: Considere la posibilidad de esta sección transversal del toro desde el ápice a la base. Para cualquier particular cono, su altura $H$, su inclinación longitud de $S$ y el radio de la base $R$ son constantes.

Por semejanza de triángulos, $${H \over S} = {{dy} \over {ds}}$$ Resolver para ds, $$ds = {{S(dy)} \over H}$$ La ecuación de la línea S, $$y = mx + b$$ where, $$m = - {H \over R}$$ and $$b = H$$ Por lo tanto, $$y = - {H \over R}x + H$$ Siguiente, resolver por $x$ $$x = {{ - R(y - H)} \over H}$$ Siguiente, integrar los círculos de radios $x$ y el espesor diferencial $ds$ de $y$ = cero a H, por lo que el área de superficie de un cono de la derecha está dada por, $$A = 2\pi \int\limits_0^H x ds$$ Sustituto $x$ en la integral para obtener, $$A = 2\pi \int\limits_0^H {{{ - R(y - H)} \over H}} ds$$ Ahora sustituye en la ecuación anterior $$ds = {S \over H}dy$$ Para obtener, $$A = 2\pi \int\limits_0^H {{{ - R(y - H)} \over H}} \left( {{S \over H}dy} \right)$$ La limpieza de esta ecuación rendimientos $$A = {{2\pi ( - R)S} \over {{H^2}}}\int\limits_0^H {(y - H)dy} $$ $$A = {{2\pi ( - R)S} \over {{H^2}}}\left[ {{{{y^2}} \over 2} - Hy} \right]_0^H$$ $$A = {{2\pi ( - R)S} \over {{H^2}}}\left[ {{{{H^2}} \over 2} - {H^2}} \right]$$ $$A = {{2\pi ( - R)S} \over {{H^2}}}\left[ {{{{H^2}} \over 2} - {{2{H^2}} \over 2}} \right]$$ $$A = {{2\pi ( - R)S} \over {{H^2}}}\left[ {{{ - {H^2}} \over 2}} \right]$$ $$A = {{2\pi RS} \over {{H^2}}}\left[ {{{{H^2}} \over 2}} \right] = \pi RS$$