Discriminante de $x^n-1$

Question

La cuestión es encontrar el discriminante del polinomio $x^n-1$

Considero $f(x)=x^n-1=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)\cdots(x-a_n)$

Ahora, $$f'(x)=[(x-a_2)(x-a_3)\cdots(x-a_n)]+\cdots+[(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_{n-1})]$$

$f'(a_1)=(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)$

$f'(a_2)=(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)$

$f'(a_3)=(a_3-a_1)(a_3-a_2)\cdots (a_3-a_n)$

y así sucesivamente.. Ahora necesito saber cuántos cambios de signo necesito para obtener algo que se parece a discriminante

Yo iba a escribir esto en una forma de la matriz para obtener alguna idea... $$\begin{bmatrix}12&13&14&15&\cdots&1n\\21&23&24&25&\cdots&2n\\31&32&34&35&\cdots&3n\\\\n1&n2&n3&n4&\cdots&n(n-1) \end{bmatrix}$$

Ver que soy la primera fila de cada elemento está en la posición correcta que quiero decir de la forma $ij$ $i<j$

En la segunda fila sólo uno de los elementos es impar de la forma $ij$ $i>j$ pero quiero $i<j$ en discriminante así que me gustaría cambiar esto.. Así que mi cuenta comienza... cambio de signo 1

En la tercera fila hay dos elementos que no se comporta correctamente... en fin, que debo cambiar ellos también.. Así que, Ahora, otro dos cambios... En toda la $1+2$ cambios...

En la cuarta fila no sería $3$ mal comportamiento de los niños, así que mi recuento $1+2+3$

En la última fila de cada cuerpo se está comportando mal, así que tengo que hacer $n-1$ cambios en la que..

Sobre todo tengo que hacer $1+2+3+\cdots +n-1=\dfrac{n(n-1)}{2}$ cambios..

Por eso, $f'(a_1)f'(a_2)\cdots f'(a_n)=(-1)^{\dfrac{n(n-1)}{2}}(a_1-a_2)^2(a_1-a_3)^2\cdots (a_{n-1}-a_n)^2=(-1)^{\dfrac{n(n-1)}{2}} Disc(f)$

Pero, a continuación, $f'(x)=nx^{n-1}$

Esto me dice que $f'(a_i)=n(a_i)^{n-1}$

Por eso, $$Disc (f)=(-1)^{\dfrac{n(n-1)}{2}} n^n(a_1a_2\cdots a_n)^{n-1}=(-1)^{\dfrac{n(n-1)}{2}} n^n(-1)^{(n-1)^2}=(-1)^{\dfrac{n(n-1)}{2}+(n-1)^2}$$

Como $(-1)^{n-1}=(-1)^{(n-1)^2}$ quiero reemplazar mi $(-1)^{(n-1)^2}$ $(-1)^{n-1}$

$$Disc (f)=(-1)^{\dfrac{n(n-1)}{2}} n^n(a_1a_2\cdots a_n)^{n-1}=(-1)^{\dfrac{n(n-1)}{2}} n^n(-1)^{n-1}=(-1)^{\dfrac{n(n-1)}{2}+n-1}n^n$$

es decir, $$Disc(x^n-1)=(-1)^{\dfrac{(n-1)(n+2)}{2}}n^n$$

Como nadie se da respuesta a mi pregunta que me estaba haciendo mi mejor esfuerzo y comenzó la edición de este cuando nunca pensé encontrar algo y esta es su etapa final... Esto es totalmente resuelto ahora...

Gracias..

Otras maneras de enfoques se agradece..

Gracias :)

Answer 1

Su método parece bien, usted sólo tiene que tener cuidado y contar el número de cambios de signo que usted necesita para hacer en las fórmulas para $f'(a_i)$ a fin de obtener en la forma correcta.

Sabemos que

$$\text{disc}(f) = \prod_{i<j}(a_i-a_j)^2$$

Ahora

$$f'(a_1) = (a_1-a_2)(a_1-a_3)\ldots (a_1-a_n) = (-1)^{0}(a_1-a_2)(a_1-a_3)\ldots (a_1-a_n) $$ $$f'(a_2) = (a_2-a_1)(a_2-a_3)\ldots (a_2-a_n) = (-1)^1(a_1-a_2)(a_2-a_3)\ldots (a_2-a_n) $$ $$f'(a_3) = (a_3-a_1)(a_3-a_2)\ldots (a_3-a_n) = (-1)^2(a_1-a_3)(a_2-a_3)\ldots (a_3-a_n) $$ $$\ldots $$ $$f'(a_{n}) = (a_{n}-a_1)(a_{n}-a_2)\ldots (a_{n}-a_n) = (-1)^{n-1}(a_1-a_{n})(a_2-a_{n})\ldots (a_{n-1}-a_n) $$

Anteriormente me he cambiado el signo de los factores que tiene la forma incorrecta: $(a_i - a_j)$$i>j$. Esto conduce a una $(-1)^k$ factor.

Multiplicando togeather los términos anteriores y comparando con la definición de disco$(f)$ vemos que:

$$\text{disc}(f) = \prod_{i<j}(a_i-a_j)^2 = \left(\prod_{i=1}^n f'(a_i)\right) \cdot (-1)^{1+2+\ldots + n-1} = (-1)^{n(n-1)/2} \prod_{i=1}^n n a_i^{n-1}$$

el último producto es como saber el $\prod_{i=1}^n n a_i^{n-1} = \prod_{i=1}^n n a_i^{n}/a_i = \frac{n^n}{a_1a_2\ldots a_n} = (-1)^{1+n}n^n$ desde $f(0) = (-a_1)(-a_2)\ldots (-a_n) = -1$. Esto le da

$$\text{disc}(f) = n^n(-1)^{n(n-1)/2}(-1)^{1 + n} = n^n(-1)^{n(n+1)/2 + 1}$$

Answer 2

Considere la posibilidad de $f(x)=x^n-1$.

Usted quiere encontrar el discriminante.

Una manera de hacerlo es encontrar cuáles son las raíces de la ecuación.

La ecuación es $x^n=1$.

Para $n$ impar, sólo una única raíz, que es $x=1$.

Para $n=2$, las raíces se $1$$-1$.

Para $n$ a y $n>2$, usted puede fácilmente volver a la caja donde $n$ es impar y el caso en que $n=2$ desde $n=2^pq$, $p$ $q$ enteros, y $q$ impar.

Y usted puede demostrar muy fácilmente que a excepción de $n>2$, hay al menos 2 idénticas raíces de la ecuación...

EDIT: yo estaba colocándome en el caso de los números reales. La otra respuesta si el uno en el C.

EDIT 2: respuesta completa se encuentra aquí: Calcular el $\prod (\omega^j - \omega^k)$ donde $\omega^n=1$.