Si $f (x) = x^3 + x^2 + x +1$ y $g(x) = x^3 – x^2 + x -1$ ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

Question

Dejemos que $ \langle p(x)\rangle $ denotan el ideal generado por el polinomio $p(x)$ en $\mathbb Q[x]$ . Si $f (x) = x^3 + x^2 + x +1$ y $g(x) = x^3 – x^2 + x -1$ ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
1. $ \langle f (x)\rangle + \langle g (x)\rangle = \langle x^3 + x\rangle$
2. $ \langle f (x)\rangle + \langle g (x)\rangle = \langle f (x)\cdot g (x)\rangle$
3. $ \langle f (x)\rangle + \langle g (x)\rangle = x^2 +1$
4. $ \langle f (x)\rangle + \langle g (x)\rangle = \langle x^2 -1\rangle$

Aquí el gcd de ellos es $x^2+1$ por lo que 3 es verdadero y 4 es falso. pero no estoy seguro de los demás. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Obviamente $x^2+1\in\langle x^2+1\rangle$ . ¿Puede demostrar que no está en $\langle x^3+x\rangle$ ? (Sugerencia: piense en los grados de los polinomios bajo la división - cuáles son los posibles grados de los polinomios en $\langle x^3+x\rangle$ ?) Esto debería responder a la primera parte de la pregunta, y con un poco de reflexión adicional deberías poder utilizar una técnica similar para resolver la segunda parte de la pregunta.

Answer 2

$(1)$ es una opción incorrecta. Razón: $x^3+x^2+x+1\notin \langle x^3 + x\rangle$ desde $\langle x^3 + x\rangle$$ ={p(x)(x^3 + x):p(x):\mathbb Q[x]\} $ and no polynomial of degree $ 0 $ multiplied by $ (x^3 + x) $ leaves $ x^3+x^2+x+1.$

$(2)$ es una opción incorrecta. Razón: $x^3+x\in(f(x))+(g(x))$ pero no en $(f(x)g(x))$ desde $(f(x)g(x))=\{p(x)(x^6-x^4-x^2+1):p(x)\in\mathbb Q[x]\}$ y multiplicando $(x^6-x^4-x^2+1)$ por un polinomio no nulo deja al menos un polinomio de grado $6$ [ $\mathbb Q[x]$ es un dominio integral]

Creo que un mejor argumento para mostrar $4$ es incorrecta es la siguiente: Si $4$ sea cierto, entonces $\langle x^2 + 1\rangle=\langle x^2 - 1\rangle$ lo que da una contradicción ya que $c(x^2+1)\ne(x^2-1)~\forall~c\in\mathbb Q.$