¿Cuál es la diferencia entre la ecuación diferencial aleatoria y la ecuación diferencial estocástica? ¿Las ecuaciones diferenciales estocásticas incluyen ecuaciones diferenciales aleatorias?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En el libro que he citado la RDE se refiere a la ecuación de la forma $$ \dot X = f(X,Y,t),\quad X(t_0) = X_0.\quad(\estrellas) $$ donde $X_0$ es r.v. y $Y$ es un proceso estocástico.
Hay consulte la Sección 5.4, p. 134 donde está escrito:
En consecuencia, seguimos Sisky [Ecuación Diferencial Estocástica, 1967] y clasificar a $(\star)$ en tres tipos básicos:
- Al Azar De Las Condiciones Iniciales.
- Azar no homogénea de las partes.
- Al azar de los coeficientes.
El primer tipo es el más simple, es decir, es simplemente una ODA al azar con condiciones iniciales, otros son más complicados y se refieren a SDEs.
Yo es posible que pierda algunos puntos -, pero mi impresión es la siguiente. El RDE $(\star)$ tiene que ser formalizado y tienen buenas propiedades tales como la existencia y unicidad de la solución. Parece que se refiere más al modelo de un proceso que luego tienen que ser estudiados mediante la teoría de la probabilidad.
Una de las vías para formalizar dicha ecuación fue dado por Ito a través de la noción de la integral de Ito. En ese caso $f(x,y,t) = a(t,x)+b(t,x)y$ el proceso de $Y$ supone que para ser ruido blanco Gaussiano y $(\star)$ reduce a $$ dX_t = a(t,X_t)\,dt+b(t,X_t)dB_t\quad (*) $$ donde $B_t$ es un movimiento Browniano.
Algunos comentarios ahora: para ser precisos, $\dot{B_t}\neq Y_t$ si $Y_t$ es un ruido blanco. Por otra parte, $\dot B_t$ no existe en absoluto, si usted se refiere a la derivada de w.r.t. tiempo $t$. El derivado $\dot X_t$ doe no existir. Las diferencias en el $(*)$ no son diferenciales como en el análisis, pero en lugar de Ito diferenciales y para ser muy preciso, usted debe escribir $(*)$ en la integral de la forma: $$ X_t-X_0 = \int\limits_0^ta(s,X_s)\,ds+\int\limits_0^tb(s,X_s)dB_s\quad (**) $$ porque sólo Ito integral tiene una definición precisa, no Ito diferencial (me corrija, por favor, si estoy equivocado). Por eso $(\star)$ es bastante imprecisa a menos que usted dice que $\dot X$ no es un habitual de derivados y definir entonces lo $\dot X$ significa que en el hormigón de la ecuación.
Ito integral es muy popular, es decir, en las matemáticas financieras. Sin embargo, es sólo una manera de formalizar $(\star)$. Otra forma fue dado por Stratonovich con la integral de Stratonovich. Que es otro tipo de integral estocástica popular en problemas físicos como la ecuación de Langevin.
El proceso impulsado por la integral de Ito se puede extender desde el movimiento Browniano más generales semimartingales porque le ahorra un montón de buenas propiedades de tales procesos. Por lo que he entendido, existe una extensión para la integral de Stratonovich así, aunque en la wiki su fórmula está dada por la integral de Ito.
Para terminar esta respuesta, yo diría que la SDE es una manera de formalizar la RDE. Os recomiendo leer el libro de B. Oksendal para comprender mejor estas cosas. Que yo recuerde, en el primer capítulo se da a los modelos de la vida real de los procesos en la forma de RDE $(\star)$. Sin embargo, se muestra que la noción de 'derivado' debe ser cambiado en el fin de formalizar estas ecuaciones.
Editado: Ok, con respecto a tu comentario. Yo diría que en SDE la noción de integral y diferencial es generalizada en lugar de la de derivados. Hay infinitesimal generadores de procesos de Markov (como para la ecuación de Fokker-Planck en el libro que he citado), sino que se refieren a la ruta de acceso derivados de las funciones de $X$, decir $f(X_t)$.
