Transformada de Laplace para evaluar $\int_{0}^{\infty} e^{-2t} *t*\sin(4t)dt$

Question

La pregunta es, ¿cómo puedo encontrar el valor de la integral $$\int_{0}^{\infty} e^{-2t} *t*\sin(4t)dt$$

Pensé que podría resolverlo diciendo que esto es $L(t\sin(4t))(2)$ . Desde $L(t\sin(4t)) = \frac{8s}{(s^2+16)^2}$ tenemos que la integral es esta en $s = 2$ o que es $\frac{1}{25}$ . Sé que esto está mal, pero ¿por qué?

EDIT: acabo de comprobar wolfram alpha, es correcto. ¿Pero es matemáticamente riguroso? (Mi instructor dio una respuesta MUCHO más larga).

Answer 1

Es riguroso (OMI), ¡y también muy inteligente!

Mira, en lugar de usar la integración por partes, si conoces la transformada de Lapalce, ¡puedes usarla! El hecho de que la solución de una persona abarque varias páginas no significa que otro enfoque sea "incorrecto". Siempre les digo a mis alumnos que a veces ir por el camino más largo significa que lo estás haciendo bien (en algunos contextos).

En general, si $f(t)$ admite una transformada de Laplace, entonces se puede evitar la integración por partes al integrar $f$ contra $e^{-st}$ a través de la transformada de Laplace.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

Pregunta de la OP: "La pregunta es, ¿cómo puedo encontrar el valor de la integral?":

\begin{align} \int_{0}^{\infty}\expo{-2t}t\sin\pars{4t}\,\dd t & = \left.-\,\partiald{}{\mu}\int_{0}^{\infty}\expo{-2t}\cos\pars{\mu t}\,\dd t\, \right\vert_{\ \mu\ =\ 4} = \left.-\,\partiald{}{\mu}\Re\int_{0}^{\infty}\expo{-\pars{2 - \ic\mu}t}\,\dd t\, \right\vert_{\ \mu\ =\ 4} \\[5mm] & = \left.-\,\partiald{}{\mu}\Re{1 \over 2 - \ic\mu}\,\right\vert_{\ \mu\ =\ 4} = \left.-\,\Re{\ic \over \pars{2 - \ic\mu}^{2}}\,\right\vert_{\ \mu\ =\ 4} = \left.\Im{\pars{2 + \ic\mu}^{2} \over \pars{4 + \mu^{2}}^{2}} \,\right\vert_{\ \mu\ =\ 4} \\[5mm] & = \left.{4\mu \over \pars{4 + \mu^{2}}^{2}} \,\right\vert_{\ \mu\ =\ 4} = {4 \times 4 \over \pars{4 + 4^{2}}^{2}} = \bbx{1 \over 25} \end{align}

Answer 3

Bueno, en general:

$$\mathscr{L}_t\left[t\sin\left(\text{n}t\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}:=\int_0^\infty t\sin\left(\text{n}t\right)\cdot e^{-\text{s}t}\space\text{d}t\tag1$$

Podemos utilizar el botón derivada en el dominio de la frecuencia de la transformada de Laplace:

$$\mathscr{L}_t\left[t\sin\left(\text{n}t\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}=-\frac{\partial}{\partial\space\text{s}}\space\left(\mathscr{L}_t\left[\sin\left(\text{n}t\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}\right)=-\frac{\partial}{\partial\space\text{s}}\space\left\{\int_0^\infty\sin\left(\text{n}t\right)\cdot e^{-\text{s}t}\space\text{d}t\right\}\tag2$$

Ahora, la transformada de Laplace de la función seno se puede encontrar aquí :

$$\mathscr{L}_t\left[t\sin\left(\text{n}t\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}=-\frac{\partial}{\partial\space\text{s}}\space\left\{\frac{\text{n}}{\text{s}^2+\text{n}^2}\right\}=\frac{2\text{n}\cdot\text{s}}{\left(\text{s}^2+\text{n}^2\right)^2}\tag3$$