Una forma elegante de definir una secuencia.

Question

Estoy tratando de definir una secuencia. Los primeros términos de la secuencia son:

$2,5,13,43,61$

No se han encontrado otros términos porque estoy trabajando con papel y lápiz, no de software.

Por eso, el primer término es $5$?

Vamos a ser $\pi(x)$ el célebre primer función de conteo. 5-$\pi(5)$=$5-3$=2, que es una de las principales. Si repetimos lo mismo con el nuevo primer $2$, tenemos 2-$\pi(2)=1$, que no es un número primo. Así que a partir de la secuencia de prime $5$, tenemos el ciclo de $5\rightarrow 2\rightarrow 1$. Las flechas parar cuando no prime es alcanzado. No prime por debajo de $5$ tiene un ciclo más largo. De hecho, a partir por ejemplo de $3$ obtener $3-\pi(3)=1$, que no es primo por lo que el ciclo es, simplemente, $3\rightarrow 1$. El segundo término de la secuencia es $13$ debido a que por debajo de $13$ ninguna otra prime tiene un ciclo más largo. De hecho, $13-\pi(13)=7$, que es primo. A continuación, $7-\pi(7)=3$, que es el primer y, finalmente, $3-\pi(3)=1$, que no es primo. Por lo que el ciclo es $13\rightarrow 7\rightarrow 3\rightarrow 1$

El ciclo de 43 es más largo por lo que es el tercer término de la secuencia anterior. Podría usted sugerir a mí una agradable y elegante definición de esta secuencia: $5,13,43,61...$ (no sé si es infinito) Podría usted encontrar otros términos con Pari si desea?

Answer 1

Yo creo que su secuencia continúa para siempre, pero crece rápidamente. Si $n$ es grande, la densidad de los primos de alrededor de $n$ es $\log n$. Desde $\log n$ es mucho menor que $n$, la probabilidad de que el azar $n$ ha $k$ flechas es acerca de $\frac 1{(\log n)^{k+1}}$. El número esperado de secuencias de longitud $k$ sobre $10^{12},$ decir, se $\int_{10^{12}}^\infty \frac {dn}{(\log n)^{k+1}}$. Este diverge porque $(\log n)^k$ hace menos de $n$ para $n$ lo suficientemente grande y sabemos que la integral de $\frac 1n$ diverge. Cada resta es sólo de orden $\frac n{\log n}$, que es pequeña en comparación a $n$ y el registro no va a cambiar mucho.

Si preguntamos cuál es la longitud de la secuencia que se espera encontrar entre las $12$ números de dos dígitos, se nota que el registro de estos números es acerca de $29$ y que $29^{8.5} \approx 3\cdot 10^{12}$. Que podemos esperar encontrar algunas secuencias de $7$ flechas, quizás $8$ o $9$, y se sorprenderá de $10$ o más. Para $100$ números de un dígito, el registro es de alrededor de $231$ e $231^{42.5} \approx 3\cdot 10^{100}$, de modo que podemos esperar algunas secuencias de longitud $40$ o $41$ entre el $100$ números de dos dígitos.

Answer 2

 `my(a=0,b=0);forprime(x=1,50000,y=x;while(isprime(y-primepi(y)),y-=primepi(y);b++);if(b>a,a=b;print(x));b=0)`
 

Produce 14897 como el siguiente. Entonces no más por debajo de 500000. No hay mucho que decir, excepto que los números primos en la secuencia serán números primos en los índices pares después del primero, simplemente porque la mayoría de los números primos están a más de 2 de sus índices.

Answer 3

El uso de $S$ para denotar la secuencia que estamos tratando de definir, uno puede hacerlo en términos de dos funciones auxiliares $N$ e $L$, donde $N$ asigna a cada número primo $x$ una secuencia cuyo primer término, que se denota por $(N(x))(0)$$^*$es $x$ sí, y cada término siguiente, que se denota por a$(N(x))(n + 1)$, está dada por $(N(x))(n) - \pi((N(x))(n))$, y $L$ es la función que da el número de términos de una secuencia devuelta por $N$ hasta cuando el primer no-el primer término es alcanzado. $S$ se define a ser tal que el primer término es igual a $5$, y dado ningún plazo $S(n)$, el siguiente término en la secuencia es entonces el más pequeño de los números primos $p$ tal que $L(N(p)) > L(N(S(n)))$.

En la fórmula:

$S(0) = 5$
$S(n + 1) = \langle\downarrow p : p \in \mathbb{P} : L(N(p)) > L(N(S(n)))\rangle$

$(N(x))(0) = x$
$(N(x))(n + 1) = (N(x))(n) - \pi((N(x))(n))$

$L(N(x)) = \langle\downarrow n : n \in \mathbb{N} : (N(x))(n) \noen \mathbb{P}\rangle$

La notación $\langle\downarrow x : R(x) : T(x)\rangle$ aquí denota el mínimo elemento de $x$ que satisface $T(x)$ a partir del conjunto de todos los elementos de satisfacciones $R(x)$. $R(x)$ e $T(x)$ denotar arbitraria de los predicados (he. e. boolean valores de funciones), que generalmente dependen de $x$.

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$^*$Nota: Aquí se utiliza la definición de que una secuencia es cualquier función cuyo dominio consiste en todos los números naturales o todos los números naturales $n$ tal que $0 \le n \lt m$ arbitrarias natural constante $m$. Admitimos $0$ como el menor número natural.