Geodésicas y superficies mínimas.

Question

Decimos que un submanifold $M$ de una variedad riemanniana $(N,h)$ es mínima si su segunda forma fundamental no tiene trazos, es decir (según tengo entendido)

Rastrear $B = \sum_{0}^{m}B(X_{i},X_{i})=0$ ,

para cualquier marco ortonormal para el haz tangente $TM$ .

¿Es un análogo multidimensional de una geodésica? Las superficies mínimas parecen minimizar la función de área en lugar de la función de longitud.

Answer 1

Sí, en efecto. El truco es darse cuenta de que las geodésicas en una variedad riemanniana $N$ son puntos críticos (en un sentido adecuado, véase más adelante) para el funcional de energía en el espacio de mapas ${\mathbb R}\to N$ . Ahora, para ampliar esta interpretación en dimensiones superiores, fijemos dos variedades riemannianas $M, N$ y considerar el espacio de inmersiones isométricas de Riemann $Imm(M,N)$ . Desde $M$ no tiene por qué ser compacto, hay que restringir la variación de la energía a las variaciones que son triviales lejos de los compactos (es decir, que están "compactamente soportadas"). Entonces $f\in Imm(M,N)$ es mínimo si es armónico si es un punto crítico del funcional de energía bajo variaciones compactamente soportadas. Véase

J.Eells y J.Sampson, Mapeos armónicos de variedades riemannianas American Journal of Mathematics, Vol. 86, No. 1 (1964), pp. 109-160.

Esto no es el final de la historia, ya que los mapas armónicos y mínimos (a diferencia de las geodésicas no constantes) no necesitan ser inmersiones, pero creo que esto es suficiente para sus propósitos.