El límite de funciones de dos variables.

Question

El límite de $f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^4}$ como $(x,y) \longrightarrow(0,0)$ es no existe, porque si vamos a tomar dos caminos:

1) a lo Largo de la ruta, $x=0$, $y\longrightarrow0$: $$\lim_{(x,y)\longrightarrow(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=0$$ 2) a lo Largo de la ruta, $x=y^2$, $y\longrightarrow0$: $$\lim_{(x,y)\longrightarrow(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=\lim_{y\longrightarrow0}\frac{y^2y^2}{(y^2)^2+y^4}=\frac{1}{2}$$

Pero si usamos coordenadas polares métodos de evaluación de límites de funciones de dos variables, obtenemos el límite de la función anterior se convierte en cero, es decir, $x=r\cos(\theta),y=r\sin(\theta)$, sabemos que $x^2+y^2=r^2$ y esto indica que $r\longrightarrow0$ como $(x,y)\longrightarrow(0,0)$, por lo tanto $$\lim_{(x,y)\longrightarrow(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=\lim_{r\longrightarrow0}\frac{r^3\cos(\theta)\sin^2(\theta)}{r^2\cos^2(\theta)+r^4\sin^4(\theta)}$$ $$=\lim_{r\longrightarrow0}\frac{r\cos(\theta)\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)+r^2\sin^4(\theta)}=0$$ Por favor que alguien me ayude en este contradictorias, ¿por qué esto es así sucedió?.

Answer 1

Cuando fija $\theta$ y toma el límite como $ r \to 0$ , está tomando límites en líneas rectas. No es suficiente tomar límites en este sentido. Cuando se toma el límite a lo largo de la parábola $x=y^{2}$ , obtenemos un valor diferente para el límite, por lo que el límite de la función no existe.

Answer 2

Usted necesita tener cuidado y considerar todos los caminos, rutas de acceso, con una constante $\theta$.

$$=\lim_{r\longrightarrow0}\frac{r\cos(\theta)\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)+r^2\sin^4(\theta)}$$

$$=\lim_{r\longrightarrow0}\left(r\color{blue}{\frac{\cos(\theta)\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)+r^2\sin^4(\theta)}}\right)$$

Su argumento funciona si la expresión en azul queda delimitada (cerca del origen); para todos los $(r,\theta)$.

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Inspirado por su propio camino $x=y^2$, comprobar lo que sucede en coordenadas polares ($r \ne 0$): $$x=y^2 \longrightarrow r\cos\theta=r^2\sin^2\theta \implies r=\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}$$ A lo largo de $r=\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}$ usted puede tomar $\theta\to\tfrac{\pi}{2}$ conseguir $r\to 0$, pero ¿qué pasa con su función a lo largo de ese camino?

$$\lim_{r\to 0}\frac{r\cos(\theta)\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)+r^2\sin^4(\theta)}\stackrel{r=\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}}{\longrightarrow}\ldots$$

Answer 3

Hice esta pregunta hace un par de días. Quiero contestar a mi pregunta, yo no estoy completamente satisfecho con sus respuestas. Permítanme comenzar diciendo que el siguiente Teorema con la prueba.

Teorema 1. Si los límites de $f(x,y)$ e $g(x,y)$ existe $(x,y)\rightarrow(0,0)$, el límite del producto $f(x,y)g(x,y)$ existe $(x,y)\rightarrow(0.0)$ y es igual al producto de los límites individuales.

Teorema 2. Si los límites de $f(x,y)$ existe y los límites de $g(x,y)$ no existen otros de $\pm \infty$, el límite del producto $f(x,y)g(x,y)$ no existe.

Teorema 1 se establece que el límite del producto de los límites de cada una de las funciones que debe existir.

Ahora permíteme aplicar el Teorema 1 y 2 para ver el ejemplo anterior no tiene contradicción con los dos métodos, el uso de rutas de acceso y uso de coordenadas polares método. Como hemos visto, el límite no existe ya que tenemos dos límites diferentes para la misma función a lo largo de dos caminos diferentes. Ahora vamos a ver por qué el límite no existe cuando usamos coordenadas polares.

Deje $x=r\cos(\theta), y=r\sin(\theta)$, sabemos que $x^2+y^2=r^2$, esto indica que $r\rightarrow 0$ como $(x,y)\rightarrow(0,0)$. Por lo tanto $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^3\cos(\theta)\sin^2(\theta)}{r^2\cos^2(\theta)+r^4\sin^4(\theta)}$$ $$=\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r\cos(\theta)\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)+r^2\sin^4(\theta)}\ne\bigg(\lim_{r\rightarrow 0}r\bigg)\bigg(\lim_{r\rightarrow 0}\frac{\cos(\theta)\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)+r^2\sin^4(\theta)}\bigg)$$ Como se puede ver la mano derecha de la ecuación, que es el producto de dos límites de $\lim_{r\rightarrow 0}r$ que existe, pero el límite de $\lim_{r\rightarrow 0}\frac{\cos(\theta)\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)+r^2\sin^4(\theta)}$ no existe, es por eso que me puse a$\ne$ entre de acuerdo con el Teorema 1. Por lo tanto, en este caso no podemos aplicar el Teorema 1 y por el Teorema 2 , el límite no existe.