Demostrar que .

Question

Deje $t_n$ ser un número de secuencias de $$1 \le a_1 < a_2 < ... < a_k \le n$$ tal que $a_{2i}$ es incluso y $a_{2i+1}$ es impar.
Demostrar que $$\sum_{n} t_n x^n = \frac{x^k}{(1-x^2)^k(1-x)}$$

Mi intento. Quiero usar allí los enumeradores y tengo 4 de los casos.
1. ambos $n$ e $k$ son incluso (en otros casos será analógico)
Luego enumerador se $$(x+x^3+...+x^{n-1})^{k/2} (1+x^2+...+x^{n})^{k/2} = \left(x\cdot \frac{1-x^{\frac{n-1}{2}}}{1-x^2} \cdot \frac{1-x^{\frac{n}{2}}}{1-x^2} \right)^{k/2}$$ Pero, ¿cómo puedo llegar desde allí mi tesis?

Answer 1

Tenemos que $$f(x):=\frac{x^k}{(1-x^2)^k(1-x)}=\frac{1}{1-x}\left(\frac{x}{1-x^2}\right)^k =\frac{1}{1-x}\left(\sum_{j=0}^{\infty}x^{2j+1}\right)^k.$$ Por lo tanto el coeficiente de $t_n=[x^n]f(x)$ es el número de maneras en que podemos escribir un entero positivo $\leq n$ como la suma de $k$ números impares. Ahora tenga en cuenta que $a_1,a_2-a_1,\dots,a_k-a_{k-1}$ se $k$ impar de números cuya suma es $a_k$ que es $\leq n$ y tal $k$ números impares determinar en forma única una secuencia $1 \le a_1 < a_2 < ... < a_k \le n$ tal que $a_{2i}$ es incluso y $a_{2i+1}$ es impar.