muestra que el conjunto$\{M, M+1, \cdots, M+ 2\lfloor \sqrt{p} \rfloor +2\}$ contiene una no-residuo cuadrática al módulo$p$

Question

Deje $M$ ser un número entero, y deje $p$ ser un extraño prime . Mostrar que el conjunto de $$ \{M+1,M+2,M+3,\cdots,M+ 2\lfloor \sqrt{p} \rfloor+2\}$$ contains a quadratic non-residue to modulus $ p$ for all primes $ p$

tal vez puede utilizar esta bien saber: Más mínimo cuadrática nonresidue es menor que la raíz cuadrada más una impar prime $p$, $a$ es el menor entero positivo que es una ecuación cuadrática nonresidue modulo $p$,a continuación, $a<1+\sqrt{p}$.

tal vez puede sove este problema?

Answer 1

Nosotros sabemos que no es una ecuación cuadrática no-residuo $n$ con $2\le n<\sqrt p+1$. Multiplicando $n$ por el poder de la $4$, podemos encontrar una ecuación cuadrática no resdiue, decir $n'$, en el rango de $\frac12\sqrt p<n'<2\sqrt p$.

Consideremos el conjunto $$ S = \{Mn',(M+1)n',\dotsc,(M+2\lfloor\sqrt p\rfloor+2)n'\}\pmod p. $$ La "distancia" en $\mathbb Z_p$ entre cualquiera de dos días consecutivos de elementos de este conjunto es de $n'<2\lfloor\sqrt p\rfloor+2$, y no hay ninguna diferencia entre el mayor y el más pequeño de los elementos de la serie desde $$ (M+2\lfloor\sqrt p\rfloor+2)n' > Mn' + p. $$ De ello se desprende que cada intervalo en $\mathbb Z_p$ de la longitud de la $2\lfloor\sqrt p\rfloor+2$ contiene al menos un elemento de a$S$. En particular, existe un elemento de a$S$ contenida en $\{M,M+1,\dotsc,M+2\lfloor\sqrt p\rfloor+2\}$. En otras palabras, hay $x,y\in\{M,M+1,\ldots,M+2\lfloor\sqrt p\rfloor+2\}$ tal que $y\equiv n'x\pmod p$. Desde $n'$ es un no residuo, por lo que es (exactamente) uno de $x$ e $y$.