Supongamos una función de densidad de probabilidad (fdp) $f$ es diferenciable en casi todas partes y continua y tiene una derivada acotada. ¿Está acotada la propia derivada?
Respuesta
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Aaron
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Tu conjetura parece ser cierta, y creo que he conseguido demostrarla a continuación. Para demostrarlo, podemos dar a la proposición un enunciado definitivo para una variable aleatoria de valor real, y demostrar el resultado en este sencillo contexto. (La demostración muestra primero que si la densidad es ilimitada, debe tener un límite infinito en un punto interno del dominio. Si la derivada está acotada en casi todas partes, entonces la densidad no puede cambiar mucho dentro de una vecindad de este punto, por lo que debe ser infinita dentro de esta vecindad, lo que llevaría a una integral infinita para la densidad.
Teorema: Consideremos una función de densidad $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+$ . Si $f'$ existe y está acotada en casi todas partes del dominio, entonces $f$ está limitada.
Prueba: Utilizaremos una prueba por contradicción. Supongamos ---contrariamente al teorema--- que todas las condiciones antecedentes del teorema se cumplen, pero $f$ no tiene límites. Dado que $f$ es una función de densidad limitada por debajo por $f \geqslant 0$ por lo que debe ser ilimitado desde arriba. Además, puesto que $f$ es una función de densidad, se aproxima a cero en sus colas izquierda y derecha, por lo que debe aproximarse a infinito en un punto interno, por la izquierda o por la derecha (o por ambas). Sin pérdida de generalidad, supondremos que la función se aproxima a infinito por la izquierda, por lo que tenemos: $$\lim_{x \uparrow a} f(x) = \infty \quad \quad \quad \text{for some } a \in \mathbb{R}.$$
Dado que el codominio de $f$ es el conjunto de los números reales tenemos $f(a) \neq \infty$ por lo que se trata de un punto en el que la función se acerca a infinito, pero no es igual a infinito, por lo que $f$ no es continua en $a$ . Desde $f$ no es continua en $a$ se deduce que $f'$ no existe en $a$ . Desde $f'$ existe y está acotada en casi todas partes del dominio, pero no existe en $a$ esto significa que debe existir y estar acotado en el intervalo $[a-\epsilon, a)$ para algunos $0<\epsilon<\infty$ . Sea $0<U<\infty$ sea el límite superior de la derivada en este intervalo. Entonces para todo $0 < \varepsilon < \epsilon$ podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo para obtener: $$\lim_{x \uparrow a} f(x) - f(a-\varepsilon) = \lim_{x \uparrow a} \int \limits_{a-\varepsilon}^x f'(r) dr \leqslant \lim_{x \uparrow a} U \cdot (x - (a-\varepsilon)) = U \cdot \varepsilon.$$
Para todos $0 < \varepsilon < \epsilon$ podemos reordenar esta desigualdad para obtener: $$f(a-\varepsilon) \geqslant \lim_{x \uparrow a} f(x) - U \cdot \varepsilon = \infty - \text{finite} = \infty.$$
Esto significa que debemos tener $f(a-\varepsilon) = \infty$ para todos $0 < \varepsilon < \epsilon$ . Esto contradice el codominio declarado de la función, y también significa que: $$\int \limits_{a-\epsilon}^a f(r) dr = \infty,$$ lo que contradice el hecho de que la densidad de probabilidad debe integrarse en uno. Esto demuestra el teorema. $\blacksquare$
