Hace poco estuve navegando y encontré este documento en el que se da a algunos de los problemas que implican Diophantine Ecuaciones. Documento: http://www.math.leidenuniv.nl/~evertse/07-taller-problemas.pdf
Al buscar un poco, encontré que el primer problema dado ha sido resuelto. Es el segundo problema también se resuelve? El problema es Encontrar todos los $x,y \in \mathbf{N}$ tal que $\binom{x}{2} = \binom{y}{5}$.
De acuerdo a Blokhuis, Brouwer, y de Weger, Binomio colisiones y cerca de las colisiones, los números Enteros 17 (2017) #A64, la cuestión fue resuelta en Bugeaud, Mignotte, Siksek, Stoll, y Tengely, Integral puntos en hyperelliptic curvas, Álgebra, Teoría de números 2 (2008) 859-885; no hay soluciones no triviales, otros de los que se indican en el comentario.
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