Descripción matemática de una mazorca de maíz

Question

Estoy tratando de averiguar cómo puedo hacer un modelo de papel de la torre de agua de mazorca de maíz en Rochester, Minnesota, para mi diseño de tren de escala N.

Lo mejor que puedo encontrar es esto: http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=hebdomicontadissaedron

¿Existe una ecuación para una superficie cuádrica cerrada tipo mazorca?

Supongo que podría hacer prueba y error, utilizando un paquete de gráficos vectoriales para jugar alargando el ejemplo anterior y tal, pero me pregunto si hay una forma matemática de hacerlo.

Answer 1

Si tenemos que utilizar una sola curva para representar un maíz cuando se mira de lado, entonces queremos encontrar algo que aumente muy rápido al principio, después de alcanzar su máximo, disminuye muy lentamente.

Así que podríamos usar: $$ y = \frac{1}{a}x^{\alpha} (b-x)^{\beta},\quad \text{ for }0 < x < b. $$ La regla del producto rinde: $$ y' = \frac{1}{a}x^{\alpha-1}(b-x)^{\beta-1} (\alpha b- x (\alpha+\beta)), $$ podemos ver que si $\alpha,\beta<1$ , $y'\to \infty$ como $x\to 0^+, b^-$ y $y' = 0$ cuando $x = \alpha b/(\alpha+\beta)$ .

Dejemos que $a = b/2, b = 5, \alpha = 0.3, \beta = 0.7$ Esta es la curva del maíz que tenemos:

Ahora giramos esta curva alrededor de la $x$ -eje por $2\pi$ lo que se hace sustituyendo $y$ por $\pm\sqrt{y^2+z^2}$ . Se obtendrá una superficie, y la mitad superior de la superficie del maíz tiene el siguiente aspecto:

En la imagen que has dado, mi opinión es que la parte inferior y la superior son dos revoluciones de dos curvas cuadráticas respectivamente.

Answer 2

Sólo el arquitecto podría responder a esta pregunta con exactitud. Pero hay consideraciones que sugieren cuál es la forma. En primer lugar, debe ser una forma suave y agradable, y un medio elipsoide alargado iría bien. La formación matemática de los arquitectos incluye probablemente los elipsoides, pero las superficies más exóticas requerirían probablemente más esfuerzo de investigación de lo que exige un concepto tan cursi. Los radios de los anillos de soporte de la estructura de acero subyacente serían fáciles de calcular para una forma elíptica. Incluso si la forma es otra, apuesto a que un modelo elipsoidal se acercará de forma impresionante si se elige con razonable precisión la relación global entre anchura y altura. La parte inferior parece ser una superficie bastante diferente, pero también podría ser un medio elipsoide (plano). Los paneles que representan los granos de maíz parecen haberse ajustado de forma ad hoc y algo irregular, lo que sugiere que el diseñador no se preocupó demasiado por la pureza matemática en este aspecto.