Evaluar: $\sum_{j=0}^{k}\sum_{i=0}^{j}{k \choose j}^2{k \choose i}$

Question

¿Puede alguien ayudarme a evaluar esta suma? $(1)$ ?

$$\sum_{j=0}^{k}\sum_{i=0}^{j}{k \choose j}^2{k \choose i}\tag1$$

Me las he apañado para descubrirlo:

$$\sum_{j=0}^{k}\sum_{i=0}^{j}{k \choose j}{k \choose i}=\frac{4^k+{2k \choose k}}{2}\tag2$$ y

$$\sum_{j=0}^{k}\sum_{i=0}^{j}{k+1 \choose j+1}^2{k \choose i}=2^k{2k \choose k}\frac{2k+1}{k+1}\tag3$$

Answer 1

Comenzamos con \begin {align*} \color {Azul}{ \sum_ {j=0}^k}& \color {Azul}{ \sum_ {i=0}^k \binom {k}{j}^2 \binom {k}{i}} \\ &=2^k \sum_ {j=0}^k \binom {k}{j} \binom {k}{k-j} \\ &=2^k \sum_ {j=0}^k \binom {k}{j}[z^{k-j}](1+z)^k \tag {1} \\ &=2^k[z^k](1+z)^k \sum_ {j=0}^k \binom {k}{j}z^j \tag {2} \\ &=2^k[z^k](1+z)^{2k} \\ &\,\, \color {azul}{=2^k \binom {2k}{k}} \tag {3} \end {align*}

Comentario:

• En (1) utilizamos el coeficiente de operador $[z^p]$ para denotar el coeficiente de $z^p$ .

• En (2) aplicamos la regla $[z^{p-q}]A(z)=[z^p]z^qA(z)$ .

• En (3) seleccionamos el coeficiente de $z^k$ .

De (3) obtenemos

\begin {align*} \sum_ {j=0}^k& \sum_ {i=0}^j \binom {k}{j}^2 \binom {k}{i}=2^k \binom {2k}{k}- \sum_ {j=0}^k \sum_ {i=j+1}^k \binom {k}{j}^2 \binom {k}{i} \tag {4} \end {align*}

La suma de la derecha de (4) da

\begin {align*} \color {Azul}{ \sum_ {j=0}^k}& \color {Azul}{ \sum_ {i=j+1}^k \binom {k}{j}^2 \binom {k}{i}} \\ &= \sum_ {j=0}^k \sum_ {i=k-j+1}^k \binom {k}{j}^2 \binom {k}{i} \tag {5} \\ &= \sum_ {j=0}^k \sum_ {i=-j+1}^0 \binom {k}{j+k}^2 \binom {k}{i} \tag {6} \\ &= \sum_ {j=0}^k \sum_ {i=0}^{j-1} \binom {k}{k-j}^2 \binom {k}{i} \tag {7} \\ &= \sum_ {j=0}^k \sum_ {i=0}^{j-1} \binom {k}{j}^2 \binom {k}{i} \\ &\,\, \color {azul}{= \sum_ {j=0}^k \sum_ {i=0}^j \binom {k}{j}^2 \binom {k}{i}- \sum_ {j=0}^k \binom {k}{j}^3} \tag {8} \end {align*}

Comentario:

• En (5) cambiamos el orden de la suma exterior $j\to k-j$ .

• En (6) desplazamos el índice $i$ por $k$ .

• En (7) sustituimos $i$ con $-i$ .

Concluimos de (4) y (8)

\begin {align*} \color {Azul}{ \sum_ {j=0}^k \sum_ {i=0}^j \binom {k}{j}^2 \binom {k}{i}=2^{k-1} \binom {2k}{k}+ \frac {1}{2} \sum_ {j=0}^k \binom {k}{j}^3} \end {align*}

con $\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}^3$ el Números de Franel almacenado como A000172 en la OEIS.