En la Teoría del Estabilizador Orbital ( aquí ) tenemos un grupo que actúa sobre a finito configure $X$ . No veo en la prueba dada cómo se utiliza la finitud del conjunto.
Entiendo que si uno quiere escribir $\lvert G\rvert / \lvert Stab_G(x)\rvert$ , entonces necesitamos que algo sea finito para formar la fracción, pero en general no lo veo.
Tienes razón, no es necesario para la declaración que $|\operatorname{Orb}(x)|=[G:\operatorname{Stab}_G(x)]$ . $\newcommand\Orb{\operatorname{Orb}}\newcommand\Stab{\operatorname{Stab}}$
Al fin y al cabo, la prueba es la siguiente. Sea $H=\Stab_G(x)$ . Definimos una biyección $\phi : G/\Stab_G(x)\to \Orb(x)$ por $\phi(gH)=gx$ . Se trata de una función bien definida, ya que si $g_1H=g_2H$ , $g_2^{-1}g_1H=H$ Así que $g_2^{-1}g_1\in H$ . Así $g_2^{-1}g_1x=x$ y $g_1x=g_2x$ .
La prueba de inyectabilidad es la prueba de bien definida a la inversa. Si $\phi(g_1H)=\phi(g_2H)$ entonces $g_1x=g_2x$ . Así $g_2^{-1}g_1x=x$ Así que $g_2^{-1}g_1\in H$ y, por tanto $g_1H=g_2H$ .
Por último, para la subjetividad, observamos que si $gx\in \Orb(x)$ entonces $\phi(gH)=gx$ . Así $\phi$ es suryectiva.
Nota al margen
De hecho, podemos demostrar el resultado más fuerte de que como izquierda $G$ -sets (suponiendo una izquierda $G$ -acción para empezar). $\Orb(x) \cong G/\Stab_G(x)$ donde $G/\Stab_G(x)$ denota el espacio coset izquierdo de $\Stab_G(x)$ . Lo único adicional que necesitamos demostrar es que la biyección $\phi$ que construimos anteriormente es $G$ -y esto se deduce del hecho de que $$\phi(g_1g_2H)=g_1g_2x=g_1(g_2x)=g_1\phi(g_2H).$$
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