En las integrales$\int_{-1}^0 \sqrt[2n+1]{x-\sqrt[2n+1]x} \mathrm dx$

Question

Jugando con las integrales del tipo, $$ I(n)=\int_{-1}^0 \sqrt[2n+1]{x-\sqrt[2n+1]x} \mathrm dx, $$ $$ n \in \mathbb{N} $$ Tengo dos resultados interesantes para la limitación de casos $n=1$ e $n \to \infty$: $$ \lim_{n \to \infty} I(n) = 1 $$ El segundo resultado es tal vez el más interesante, $$ I(1)=\int_{-1}^0 \sqrt[3]{x-\sqrt[3]x} \mathrm dx \approx \frac {\pi}{\sqrt {27}} $$ La aproximación es válida para $12$ lugares decimales. Mi pregunta es recta, podemos probar estos resultados analíticamente? Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Para $n \in \mathbb{N}$ tenemos \begin{align} I (n) &= \int \limits_{-1}^0 \left[x - x^{\frac{1}{2n+1}}\right]^{\frac{1}{2n+1}} \mathrm{d} x \stackrel{x = -y}{=} \int \limits_0^1 \left[y^{\frac{1}{2n+1}} - y\right]^{\frac{1}{2n+1}} \mathrm{d} y = \int \limits_0^1 y^{\frac{1}{(2n+1)^2}}\left[1 - y^{\frac{2n}{2n+1}}\right]^{\frac{1}{2n+1}} \mathrm{d} y \\ &\hspace{-10pt}\stackrel{y = t^{\frac{2n+1}{2n}}}{=} \frac{2n+1}{2n} \int \limits_0^1 t^{\frac{n+1}{n (2n+1)}} (1-t)^{\frac{1}{2n+1}} \mathrm{d}t = \frac{2n+1}{2n} \operatorname{B}\left(\frac{n+1}{n(2n+1)}+1,\frac{1}{2n+1} + 1\right) \, . \end {align} Usando $\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$ podemos reescribir este resultado para encontrar $$ I (n) = \frac{\operatorname{B} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n+1}, \frac{1}{2n+1}\right)}{2 (2n+1)} = \frac{1}{2(2n+1)} \frac{\operatorname{\Gamma}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n+1}\right) \operatorname{\Gamma}\left(\frac{1}{2n+1}\right)}{\operatorname{\Gamma}\left(\frac{1}{n}\right)}$ $ para $n \in \mathbb{N}$ . En particular, $$ I(1) = \frac{\operatorname{\Gamma}\left(\frac{2}{3}\right) \operatorname{\Gamma}\left(\frac{1}{3}\right)}{6} = \frac{\pi}{6 \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} \,.$ $ Además, obtenemos $$ \lim_{n \to \infty} I (n) \stackrel{\Gamma(x) \, \stackrel{x \to 0}{\sim} \, \frac{1}{x}}{=} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2(2n+1)} \frac{\frac{n(2n+1)}{n+1} (2n+1)}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2(n+1)} = 1 \, .$ $

Answer 2

Demasiado largo para un comentario.

Después de ComplexYetTrivial la respuesta, tenemos $$I_n=\frac{\Gamma \left(\frac{2 (n+1)}{2 n+1}\right) \Gamma \left(\frac{n+1}{n(2 n+1)}\right)}{2 \Gamma \left(\frac{1}{n}\right)}$$ la Expansión de la serie $$I_n=1-\frac{1}{2 n}+\frac{12-\pi ^2}{24 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ which is not "too bad" even for $n=1$; this would give $1-\frac{\pi ^2}{24}\approx 0.588766$ while $\frac{\pi}{3 \sqrt{3}}\approx 0.604600$.

Para unos valores de $n$ $$\left( \begin{array}{ccc} n & \text{approximation} & \text{exact} \\ 1 & 0.588766 & 0.604600 \\ 2 & 0.772192 & 0.774848 \\ 3 & 0.843196 & 0.843965 \\ 4 & 0.880548 & 0.880851 \\ 5 & 0.903551 & 0.903695 \\ 6 & 0.919132 & 0.919210 \\ 7 & 0.930383 & 0.930429 \\ 8 & 0.938887 & 0.938916 \\ 9 & 0.945540 & 0.945560 \end{array} \right)$$

Answer 3

Encontré la solución de tu interesante integral al probar:

PS

Revisé el resultado en busca de varios valores, pero como no puedo obtener tu segundo resultado, la solución numérica es compleja, ¡supongo que cometiste un error en tu publicación! Por favor revise su segundo resultado!

Answer 4

Me temo que su cálculo no es correcto. Por desgracia, el cálculo de $I(1)$ no es detallada. Uno no puede decir exactamente dónde está el error.

Supongo que el problema viene de una transformación como $x^{\frac{2n}{2n+1}}= ((-x)^{2})^{\frac{n}{2n+1}}$ lo cual es falso. $$ x^{\frac{2n}{2n+1}}\neq ((-x)^{2})^{\frac{n}{2n+1}}$$ for $-1<x<0$ el primer término es complejo. El segundo es real.

La integral no es real $\simeq \frac{\pi}{\sqrt{27}}$. $$I(1)=\int_{-1}^0 \sqrt[3]{x-\sqrt[3]x} \mathrm dx \simeq 0.68575-0.242772\,i$$