Si $X$ es un espacio de Banach, entonces una base de Schauder $X$ es un subconjunto $B$ de $X$ tal que cada elemento de a$X$ puede escribirse de forma única como una infinita combinación lineal de los elementos de $B$. Mi pregunta es, si $A$ es un subconjunto linealmente independiente de $X$ tal que el cierre de la extensión de $A$ es igual a $X$, entonces es $A$ necesariamente una base de Schauder $X$?
Si no, ¿alguien sabe de alguna contraejemplos?
No, ciertamente no. El conjunto linealmente independiente $\{1, x, x^2, x^3, \dots\}$ ha span denso en $C[0,1]$ por la aproximación de Weierstrass teorema. Pero no es una base de Schauder de ese espacio, ya que no toda función continua es dado por una potencia de la serie.
Una base de Schauder es, en general, mucho más difícil de construir que un conjunto con densa útil.
Desde Enflo sabemos que hay espacios de Banach separables (por lo tanto tienen contables subconjunto denso) que no tienen base de Schauder.
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