Pregunta 1: ¿Cómo podemos demostrar $$I_3=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{Li}_3(\sin x)dx=\frac{\pi}{4}\zeta(3)+\frac{1}{6}\pi\ln^32-\frac{1}{24}\pi^3\ln2?$$ (donde $\displaystyle\operatorname{Li}_s(x):=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^s}$ )
Pregunta 2: Además, ¿podemos encontrar un método general (no es necesario que sea una fórmula explícita) para encontrar $$I_n=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{Li}_n(\sin x)dx$$ donde $n\in\mathbb{Z}^+$ ?
Mi intento
Recordemos la definición de polilogaritmo, $$I_3=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^nx}{n^3}dx\\ =\sum_{m=1}^\infty\frac1{8m^3}\int_0^{\pi/2}2\sin^{2m}xdx\\ =\sum_{m=1}^\infty\frac{\pi(1/2)_m}{8m^3m!}$$ donde $(1/2)_n$ indica el símbolo de Pochhammer)
Por lo tanto, podemos deducir que $$I_3=\frac{1}{16} \pi \, _5F_4\left(1,1,1,1,\frac{3}{2};2,2,2,2;1\right).$$ Además, $I_n$ puede representarse de forma similar $_pF_q$ condiciones. Pero, no estoy familiarizado con $_5F_4$ . No tengo ni idea de cómo convertir el término hipergeométrico en la respuesta.
Algunas formas equivalentes de $I_n$ : $$I_n=\int_{-1}^1\operatorname{Li}_n(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$I_n=\int_0^12^{1-n}\operatorname{Li}_n(x^2)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ Cualquier respuesta sin utilizando técnicas hipergeométricas.
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arxiv.org/abs/1806.08411 a partir de la página 26, proporciona técnicas basadas en expansiones FL.