$\int_a^bf^2(x)\,dx\le \frac{2}{3}\int_a^bf(x)\,dx$ para una función diferenciable convexa

Question

Si $f:[a,b] \to \mathbb{R}, f(a)=0,f(b)=1$ es un convexo aumento de la función derivable en el intervalo de $[a,b]$ . Demostrar que $$\int_a^bf^2(x)\,dx\le \frac{2}{3}\int_a^bf(x)\,dx$$

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Puesto que f es convexa y aumentando, por lo $f''(x)\ge 0 $ e $f'(x)\ge 0$. Entonces considero que una función $g:[a,b]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{2}{3}\int_a^xf(t)\,dt-\int_a^xf^2(t)\,dt$. Ahora $f$ es diferenciable implica $g$ también pero no puede concluir $g'(x)\ge 0$.

Answer 1

En Demostrar $\int _0^\infty f^2 dx \leq \cdots $ $f$ convexo el siguiente teorema fue demostrado:

Si $F$ es convexo y no negativo en $[0, \infty)$ entonces $$ \int _0^\infty F^2(x) dx \leq \frac{2}{3}\cdot \max_{x \in \mathbb R^+} F(x) \cdot \int _0^\infty F(x) dx \, .$$

Nuestra función $f$ es no negativo y convexo en $[a, b]$ con $f(a) = 0$ e $f(b) = 1$. Si definimos $F$ a $[0, \infty)$como $$ F(x) = \begin{cases} f(b-x) & \text{ for } 0 \le x \le b-a \\ 0 & \text{ for } x > b-a \end{casos} $$ a continuación, $F$ satisface las hipótesis del teorema anterior, y por lo tanto $$ \int_a^bf^2(x)\,dx = \int _0^\infty F^2(x) dx \leq \frac{2}{3}\cdot \max_{x \in \mathbb R^+} F(x) \cdot \int _0^\infty F(x) dx = \frac{2}{3}\int_a^bf(x)\,dx \, . $$

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También podemos modificar la prueba del teorema anterior para este caso. Definir $\varphi: [a, b] \to \Bbb R$como $$ \varphi(x) = \frac 23 f(x) \int_a^x f(t) \, dt - \int_a^x f^2(t) \, dt \, . $$ El objetivo es mostrar que la $\varphi$ es (débilmente) en aumento. Entonces la conclusión deseada de la siguiente manera con $$ 0 = \varphi(a) \le \varphi(b) = \frac 23 \int_a^b f(t) \, dt - \int_a^b f^2(t) \, . $$ Desde $f$ se supone que para ser diferenciable, tenemos $$ \varphi'(x) = \frac 23 f'(x) \int_a^x f(t) \, dt + \frac 23 f^2(x) - f^2(x) \\ = \frac 23 f'(x) \int_a^x f(t) \, dt - \frac 13 f^2(x) \, . $$ Ahora podemos distinguir dos casos:

• Si $f'(x) =0$ entonces $f'(t) =0$ para $a \le t \le x$, por lo que $f(x) = f(a) = 0$ y, por tanto, $\varphi'(x) = 0$.
• Si $f'(x) >0$ , a continuación, estimamos $f(t)$ desde abajo por la tangente $(x, f(x))$: $$ \int_a^x f(t) \, dt \ge \int_{x-f(x)/f'(x)}^x \bigl( f(x) + (t-x)f'(x) \bigr) \, dt = \frac{f^2(x)}{2f'(x)} $$ y, por tanto, $\varphi'(x) \ge 0$.

Por lo $\varphi'(x) \ge 0$ para todos los $x \in [a, b]$, lo que significa que $\varphi$ es creciente en el intervalo, y hemos terminado.

Observación 1: La prueba se hace más fácil si se supone que $f$ es dos veces diferenciable. Entonces $$ \varphi"(x) = \frac 23 f"(x) \int_a^x f(t) \, dt \ge 0 $$ de modo que $\varphi'(x) \ge \varphi'(0) = 0$.

Comentario 2: La prueba de que funciona incluso sin la suposición de que $f$ es diferenciable: Como una función convexa, $f$ tiene un derecho derivado $$ f_+'(x) = \lim_{\substack{h \to 0\\ h > 0}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ en todas partes en $[a, b)$, y se puede sustituir $f'$ por $f_+'$ e $\varphi'$ por $\varphi_+'$ en el argumento anterior.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, se cambio y la escala para establecer $a=0, b=1$. Y ahora vamos a considerar las integrales, $ \int_0^1{f(x)dx} $ e $ \int_0^1{f^2(x) dx} $.

La convexidad de $ f(x) $ asegura que $f(x)\leq x$. (1)

Ahora, podemos escribir la integral como límite de sumas de Riemann.$ \int_0^1{f^2(x) dx} = \lim_{h \to 0, N \to \infty}{\sum_{r=0}^N(f^2(rh) \times h)}$ $\int_0^1{f(x) dx} = \lim_{h \to 0, N \to \infty}{\sum_{r=0}^N(f(rh) \times h)} $

$ f^2(rh) / f(rh) =f(rh) \leq rh$ ((1)). Para que este ratio sea máximo (que es cuando la relación se $ \frac{ \int_0^1{f^2(x) dx}}{\int_0^1{f(x) dx}}$ máximo), $ f(rh)=rh $ para todos los $r$. $\Rightarrow f(x)=x $. (2)

Esto significa $ \frac{ \int_0^1{f^2(x) dx}}{\int_0^1{f(x) dx}} \leq \frac{ \int_0^1{x^2 dx}}{\int_0^1{x dx}} = \frac{2}{3}$

Edit: La maximización si tiene un único máximo de la función existe en cada intervalo de (2). Esto es si $f(x)$ es convexa. De lo contrario, como han señalado correctamente Martin, esta relación puede ser más de $\frac{2}{3}$. Por ejemplo, si $ f(x)= sin^2(\frac{\pi x}{2})$, esta proporción es de 3/4.