¿Existe un morfismo suprayectivo de un producto infinito directo de copias de$\mathbb{Z}$ a una suma infinita directa de copias de$\mathbb{Z}$?

Question

Hay un surjective de morfismos $\mathbb{Z}^I\to \mathbb{Z}^{(J)}$ para algunos $I,J$?

yo) estoy preguntando sobre el grupo de morfismos

ii) $\mathbb{Z}^{(J)}$ denota la suma directa de $J$ copias de $\mathbb Z$

iii) por supuesto, quiero $J$, y por lo tanto $I$ a ser infinito, de lo contrario es trivial.

Quiero saber si hay un surjection para cualquier $J$, por lo que es suficiente para encontrar una $J$ no cuenta con tales surjection y va a ser hecho. Sin embargo parece que la respuesta no dependen realmente de $J$.

Pensamientos : yo creo que no hay surjective de morfismos, y así estaba tratando de encontrar una contradicción. Por supuesto, dicho de morfismos es dividida, por lo que yo estaba tratando de analizar los sumandos de $\mathbb{Z}^I$ pero tiene esencialmente nada. También probé el estudio de los mapas de $\mathbb{Z}^I \to \mathbb{Z}$, para el estudio de las proyecciones. Sé que si de un mapa se desvanece en casi cero secuencias, luego se desvanece, por lo que yo estaba tratando de demostrar que iba a hacer eso aquí, pero sin éxito.

Realmente no sé cómo proceder.

EDIT: el enlace que se da en los comentarios pueden ayudar. De hecho, si hubiera un surjection, luego pasando a los hom en $\mathbb{Z}$, tendríamos una inyección de $\mathbb{Z}^J \to \hom (\mathbb{Z}^I, \mathbb{Z})$. Ahora no sé cómo general de la citada Baer el resultado es, pero si se generaliza para cualquier exponente, entonces esto podría proporcionar una inyección de $\mathbb{Z}^J\to \mathbb{Z}^{(I)}$, lo cual es claramente contradictorio, buscando por ejemplo en "casi" $2^\infty$-divisible elementos de $\mathbb{Z}^J$ (si no está claro pueden esbozar la prueba aquí, pero no es tan complicado)

Alternativamente, si Baer, el resultado no es tan general, es posible utilizar algunos trucos para reducir a $I= \mathbb{N}$, al menos cuando suponiendo que $J=\mathbb{N}$.

Answer 1

Por el Łoś–Eda Teorema, $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}^I,\mathbb{Z})$ es un servicio gratuito de abelian grupo para cualquier conjunto $I$ (es decir, es libre en el homomorphisms dada por la countably completa ultrafilters en $I$). Si un surjective homomorphism $\mathbb{Z}^I\to\mathbb{Z}^{(J)}$ existía, se provocaría un inyectiva homomorphism $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}^{(J)},\mathbb{Z})\to\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}^I,\mathbb{Z})$, y por lo $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}^{(J)},\mathbb{Z})$ sería libre desde $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}^I,\mathbb{Z})$ es gratis. Pero $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}^{(J)},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^J$ no es libre si $J$ es infinito, así que esto es una contradicción.