Muestre que si$\pm\lambda $ es un valor propio de$A$, entonces$\lambda^2$ es un valor propio de$A^TA$ y viceversa.

Question

Muestre que si$\pm\lambda $ es un valor propio de$A$, entonces$\lambda^2$ es un valor propio de$A^TA$ y viceversa.

Si$\pm\lambda $ es un valor propio de$A$ entonces$Av=\pm\lambda v\implies v^TA^T=\pm \lambda v^T\implies v^TA^TAv=a^2v^Tv $

¿Cómo mostrar que$a^2$ es un valor propio de$A^TA$ desde arriba?

A la inversa,$A^TAv=a^2v\implies v^TA^TAv=a^2 v^Tv\implies \langle Av,Av \rangle =a^2\langle v,v\rangle\implies ||Av||=a^2||v||\implies ||Av||=\pm a||v||$

¿Cómo mostrar que$Av=\pm av$ desde aquí? Por favor ayuda.

Answer 1

Si$\lambda$ es un valor singular de$A$, entonces hay vectores ortonormales$u$ y$v$ tales que$Av = \lambda u$ y$A^\top u = \lambda v$. Por lo tanto, $$ (A ^ \ top A) v = A ^ \ top (A v) = A ^ \ top (\ lambda u) = \ lambda (A ^ \ top u) = \ lambda (\ lambda v) = \ lambda ^ 2 v. $$ Como$||v||=1 \ne 0$, se deduce que$\lambda^2$ es un valor propio de$A^\top A$ (de manera similar,$\lambda^2$ es un valor propio de$AA^\top$) . Por lo tanto, su declaración anterior no es tan correcta como está escrita.