Límite de $(x+3)^{1 + 1/x} - x^{1 + 1/(x+3)}$ cuando $x\to \infty$

Question

Bueno, éste es el límite último que tengo que resolver pero no es tan fácil ;)

$$\lim_{x\to \infty} (x+3)^{1 + 1/x} - x^{1 + 1/(x+3)}$$

Answer 1

Uno tiene que ser cuidadoso, porque esto es una diferencia de dos funciones y cada uno de ellos converge hacia el infinito, por lo tanto el comportamiento de su diferencia puede ser casi cualquier cosa.

Escribir la función de interés como $f(x)=xx^{1/x}g(x)$ con $$ g(x)=(1+3/x)^{1+1/x} x^{1/(x+3)-1/x}=\mathrm{e}^{a(x)}-\mathrm{e}^{b(x)}, $$ con $$ una(x)=(1+1/x)\log(1+3/x)=3/x+o(1/x), $$ y $$ b(x)=-\frac{3\log(x)}{x(x+3)}=o(1/x). $$ Este rendimientos $\mathrm{e}^{a(x)}=1+3/x+o(1/x)$ $\mathrm{e}^{b(x)}=1+o(1/x)$ por lo tanto $g(x)=3/x+o(1/x)$.

Asimismo, $x^{1/x}=\mathrm{e}^{\log(x)/x}=1+o(1)$ por lo tanto $$ f(x)=xx^{1/x}g(x)=x(1+o(1))(3/x+o(1/x))=3+o(1). $$ Es decir, $f$ no converge y su límite es $3$.

Answer 2

Sé que el siguiente método no es válido para el propósito de este ejercicio, pero me gustaría publicar. Yo calculada en el Sistema de Álgebra computacional incluidos en los servicios de la comisión la siguiente potencia de la serie de expansiones:

$$\begin{eqnarray*} (t^{-1}+3)^{1+t} &=&t^{-1}+\left( 3-\ln t\right) +\left( -\frac{3}{2}+\frac{1 }{2}\left( 3-\ln t\right) ^{2}\right) t+O\left( t^{2}\right) \\ t^{-1-1/(t^{-1}+3)} &=&t^{-1}+\left( -\ln t\right) +\left( 3\ln t+\frac{1}{2} \ln ^{2}t\right) t+O\left( t^{2}\right) \end{eqnarray*}$$

y

$$(t^{-1}+3)^{1+t}-t^{-1-1/(t^{-1}+3)}=3+\a la izquierda( -\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left( 3-\ln t\right) ^{2}-3\ln t-\frac{1}{2}\ln ^{2}t\right) t+O\left( t^{2}\right).$$

Entonces me genera la asintótica de alimentación de la serie de $(x+3)^{1+1/x}-x^{1+1/(x+3)}$ por el cambio de las variables de $x=1/t$

$$\begin{eqnarray*} f(x)&=&(x+3)^{1+1/x}-x^{1+1/(x+3)} \\ &=&3+\left( -\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left( 3-\ln \frac{1}{x}\right) ^{2}-3\ln \frac{1}{x}-\frac{1}{2}\ln ^{2}\frac{1}{x} \right) \frac{1}{x}+O\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \\ &=&3+\left( -\frac{3}{2x}+\frac{1}{2x}\left( 3+\ln x\right) ^{2}+\frac{3\ln x }{x}+\frac{\ln ^{2}x}{2x}\right) +O\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \\ &=&3+\frac{3}{x}+6\frac{\ln x}{x}+\frac{\ln ^{2}x}{x}+O\left( \frac{1}{x^{2}} \right) \\ &\sim &3, \end{eqnarray*}$$

y se confirma con la siguiente variante $$\begin{eqnarray*} f(x)&=&(x+3)^{1+1/x}-x^{1+1/(x+3)} \\ &=&\frac{\left( x+3\right) ^{1+1/x}x^{-1-1/(x+3)}-1}{x^{-1-1/(x+3)}} \\ &\sim &\frac{1+\frac{3}{x}+\left( -3\ln \frac{1}{x}+3\right) \frac{1}{x^{2}} +O\left( \frac{1}{x^{3}}\right) -1}{\frac{1}{x}+\left( \ln \frac{1}{x} \right) \frac{1}{x^{2}}+O\left( \frac{1}{x^{3}}\right) } \\ &\sim &3\frac{x+\ln x+1}{x-\ln x} \\ &\sim &3. \end{eqnarray*}$$

Answer 3

Para las constantes a, b, considere la posibilidad de la asymptotics de $(x+a)^{1+1/(x+b)}$$x\to\infty$. Esto es igual a $(x+a)e^{\log(x+a)/(x+b)}$.

Ahora desde $\log(x+a)/(x+b)$ tiende a 0, sabemos que $e^{\log(x+a)/(x+b)}=1+\log(x+a)/(x+b)+\ldots$ cuando la $\ldots$ plazo tiende a 0 más rápido que $\log(x+a)^2/(x+b)^2$.

A continuación,$(x+a)^{1+1/(x+b)}=(x+a)+(x+a)\log(x+a)/(x+b)+(x+a)\ldots$, y desde $(x+a)\log(x+a)^2/(x+b)^2$ tiende a 0, por lo que no $(x+a)\ldots$.

Por lo tanto,$(x+a)^{1+1/(x+b)}-(x+a)-(x+a)\log(x+a)/(x+b)\to0$$x\to\infty$.

Tenga en cuenta que$(x+a)\log(x+a)/(x+b)-\log(x+a)=(a-b)\log(x+a)/(x+b)\to0$$x\to\infty$.

Tenga en cuenta también que $\log(x+a)-\log x=\log(1+a/x)\to\log 1=0$$x\to\infty$.

La adición de estos tres límites en conjunto muestra que $(x+a)^{1+1/(x+b)}-(x+a)-\log x\to 0$, lo que podemos reescribir como $(x+a)^{1+1/(x+b)}-(x+\log x)\to a$.

Aplicar con $a=3$ $b=0$ da $(x+3)^{1+1/x}-(x+\log x)\to 3$. Aplicar con $a=0$ $b=3$ da $x^{1+1/(x+3)}-(x+\log x)\to 0$.

Restando una de la otra da $(x+3)^{1+1/x}-x^{1+1/(x+3)}\to 3$.

Answer 4

$(x+3)e^{((\ln(x+3))/x)}-xe ^ {((\ln x)/(x+3))} = 3+{(((x+3)\ln(x+3)) / x)-((x\ln x)/(x+3))}+o(1) = $ 3+o(1), donde la primera igualdad se obtiene mediante la serie de Maclaurin de la función exponencial y la última igualdad se obtiene mediante el truco $\ln(x+3)= \ln x+\ln(1+(3/x))$.