Sabemos que cuando la Latitud es 0, la distancia entre los valores de Longitud es de aproximadamente 69 millas.
Cuando la Latitud es +/-90, los valores de Longitud son 0 millas.
En la latitud 0, la circunferencia de la Tierra es de 24.902 millas.
De polo a polo, la circunferencia de la Tierra mide 24.860 millas (debido a la forma elipsoidal de la Tierra).
Con esta información, ¿cómo puedo calcular la distancia en millas entre dos puntos de longitud cuando sus latitudes son iguales?
Aprovechando el post de Martin:
Suponiendo que la tierra es un elipsoide perfecto con ecuación: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1$ .
Normalmente se considera que no se necesita un parámetro diferente para $y$ para el elipsoide terrestre, lo que implica que las secciones por planos $z=c$ (es decir, latitud constante) son círculos.
Así, dada una latitud de $\theta \in [0; \frac{\pi}{2}]$ radianes, puede parametrizar la elipse en el $(Oxz)$ espacio por $(x,z) = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ lo que le da una ecuación de $z=c=b\sin \theta$ .
Así que estás viendo el círculo de la ecuación $x^2 + y^2 = a^2 - \frac{a^2}{b^2}\times b^2 \sin ^2 \theta = a^2 \cos ^2 \theta = R ^2$ .
Al final, su longitud no depende directamente de $b$ y para 2 puntos separados por una longitud de $\varphi$ en una latitud común $\theta$ La distancia en la superficie de la tierra será $d(\varphi,\theta) = \frac{\varphi}{2\pi} \times a|\cos \theta|$
Esto puede lograrse con la solución inversa de Thaddeus Vincenty o con la fórmula de la distancia haversina. Si la simplicidad y la rapidez del cálculo son más importantes que la precisión, utilice la fórmula de la distancia haversina. En caso contrario, utilice la solución inversa de Vincenty.
Solución inversa de Vincenty
$\alpha$ longitud del semieje mayor del elipsoide
$\beta$ longitud del semieje menor del elipsoide
$\gamma=\frac{1}{\alpha}(\alpha-\beta)$ aplanamiento del elipsoide
$x_1, x_2$ latitud de los puntos en radianes
$y_1, y_2$ longitud de los puntos en radianes
$\psi=y_2-y_1$ diferencia de longitud
$\lambda=\psi$ primera y actual aproximación
$\lambda_0$ aproximación anterior
A continuación se presentan algunas optimizaciones trigonométricas, para $k=1,2$
\[ \tan\omega_k = (1- \gamma ) \cdot\tan x_k \ ~ -]
\[ \cos\omega_k = \frac {1}{ \sqrt {1+ \tan ^2 \omega_k }} \]
\[ \sin\omega_k = \tan\omega_k\cdot\cos\omega_k \]
Ahora iteramos los siguientes cálculos hasta $\lambda-\lambda_0 > 10^{-12}$ mm
\[ \sin\phi = \sqrt {( \cos\omega_2\cdot\sin\lambda )^2+( \cos\omega_1\cdot\sin\omega_2 - \sin\omega_1\cdot\cos\omega_2\cdot\cos\lambda )^2} \] \[ \cos\phi = \sin\omega_1\cdot\sin\omega_2 + \cos\omega_1\cdot\cos\omega_2\cdot\cos\lambda \] \[ \phi = \arctan\left ( \frac { \sin\phi }{ \cos\phi } \right ) \] \[ \sin z = \frac { \cos\omega_1\cdot\cos\omega_2\cdot\sin\lambda }{ \sin\phi } \] \[ \cos ^2 z = 1- \sin ^2 z \] \[ \cos 2 \phi_m = \cos\phi - \frac {2 \sin\omega_1\cdot\sin\omega_2 }{ \cos ^2 z} \] \[ \delta = \frac { \gamma }{16} \cos ^2 z \cdot (4+ \gamma\cdot (4-3 \cos ^2 z)) \] \[ \lambda_0 = \lambda \] \[ \zeta = \phi + \delta\cdot\sin\phi\cdot ( \cos 2 \phi_m + \delta\cdot\cos\phi\cdot (-1+2 \cos ^2 2 \phi_m )) \] \[ \lambda = \psi +(1- \delta ) \cdot\gamma\cdot\zeta\cdot\sin z \]
Una vez $\lambda$ converge, calcula lo siguiente \[ \mu ^2= \frac { \cos ^2 z \cdot ( \alpha ^2- \beta ^2)}{ \beta ^2} \] \[ A=1+ \frac { \mu ^2}{16384} \left (4096+ \mu ^2(-768+ \mu ^2(320-175 \mu ^2)) \right ) \] \[ B= \frac { \mu ^2}{1024} \left (256+ \mu ^2(-128+ \mu ^2(74-47 \mu ^2)) \right ) \] \[ C= \frac {B}{6} \cos 2 \phi_m (4 \sin ^2 \phi -3)(4 \cos ^2 2 \phi_m -3)\] \[ D= \cos 2 \phi_m + \frac {B}{4} \left ( \cos\phi (2 \cos ^2 2 \phi_m -1)-C \right ) \] \[ \Delta\phi =B \cdot D \cdot\sin\phi \] \N -[ d = A \cdot \beta\cdot ( \phi - \Delta\phi ) \]
Por último, ahora tenemos $d$ que es la distancia elipsoidal entre $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ en metros. Para convertir la distancia $d$ a millas, sólo hay que multiplicar $d$ por $0.000621371$ . Lo que le falta a este algoritmo en cuanto a velocidad y sencillez, lo compensa con su precisión de 0,5 mm.
Fórmula de la distancia de Haversine
$x_1, x_2$ latitud de los puntos en radianes
$y_1, y_2$ longitud de los puntos en radianes
$R$ radio de la tierra en metros
\[ \alpha = \sin ^2 \left ( \frac {x_2-x_1}{2} \right )+ \cos x_1 \cdot\cos x_2 \cdot\sin ^2 \left ( \frac {y_2-y_1}{2} \right ) \] \[ \beta = 2 \cdot { \rm atan2}( \sqrt { \alpha }, \sqrt {1- \alpha }) \] \N -[ d = R \cdot\beta \] Ahora tenemos fácilmente $d$ la distancia elipsoidal entre $(x_1, x_2)$ y $(y_1, y_2)$ en metros. De nuevo para convertir la distancia $d$ a millas, sólo hay que multiplicar $d$ por $0.000621371$ .
En primer lugar, supongamos que la "latitud" se encuentra por el ángulo entre el polo norte y su posición en la superficie, en lugar de longitudes de arco iguales a lo largo de la superficie. Nadie quiere jugar con integrales elípticas del segundo tipo por capricho.
Como dijo Matt B supongamos que la Tierra es un elipsoide con el semieje mayor a lo largo de x e y iguales, llamémoslo A (que tiene un valor de 6399592m) y el semieje menor a lo largo de z que une los polos de longitud B (que tiene un valor de 6335437m).
Tomemos la traza del elipsoide que interseca el plano x-z y parametricémosla en función de la latitud $ \theta $ . Tomaremos el polo norte como 0° y el ecuador como 90°.
Por lo tanto, para una latitud dada, las posiciones para todas las longitudes se encuentran en el lugar de un círculo de radio $ A \sin \phi $ .
Mientras se mida el ángulo de longitud en radianes, la distancia entre dos puntos en la misma latitud es simplemente $A \sin \phi \Delta \theta $ .
Si estás dispuesto a aproximarte a una esfera, puedes utilizar el siguiente resultado de Spherical Trig para calcular el ángulo:
$$ \cos s = \sin^2 \phi + \cos^2 \phi \cos \Delta \theta $$
Multiplica esta s por la media de las dos distancias anteriores y tendrás un valor aproximado.
Si busca una respuesta más empírica, tendrá que utilizar elipsoides de referencia como el WGS84.
En lo que sigue, utilizaremos la distancia angular (radianes). Para convertir la distancia angular en distancia en millas o kilómetros, multiplique la distancia angular por el radio de la Tierra. Para la mayoría de los propósitos, podemos asumir que la Tierra es una esfera; así lo haremos aquí. Esto nos permite utilizar las fórmulas de la trigonometría esférica.
Distancia geodésica
Si se desea la longitud de la geodésica (camino más corto, no necesariamente un camino de latitud constante), entonces podemos utilizar la ley esférica de los cosenos para obtener $$ \begin{align} \cos(\text{distance}) &=\sin^2(\text{latitude})+\cos^2(\text{latitude})\cos(\Delta\text{longitude})\\ &=1-\cos^2(\text{latitude})(1-\cos(\Delta\text{longitude}))\tag{1} \end{align} $$ Observando que para los ángulos pequeños, $1-\cos(x)\approx\frac12x^2$ restando $(1)$ de $1$ dice que $$ \frac12\text{distance}^2\approx\cos^2(\text{latitude})\frac12\Delta\text{longitude}^2\tag{2} $$ Por lo tanto, obtenemos la aproximación para distancias pequeñas $$ \text{distance}\approx\cos(\text{latitude})\,\Delta\text{longitude}\tag{3} $$
Distancia paralela
La distancia a lo largo de un paralelo de latitud no es la distancia más corta, sino que es la distancia recorrida si se camina hacia el este o el oeste hasta el destino. Esta es la distancia que se suele utilizar cuando se pregunta por la longitud de un grado de longitud. $$ \text{distance}=\cos(\text{latitude})\Delta\text{longitude}\tag{4} $$ Obsérvese la similitud entre $(3)$ y $(4)$ .
Utilizando $1^\circ=\frac\pi{180}$ radianes y un radio de $\frac{24902\text{ miles}}{2\pi}=3963.3\text{ miles}$ , obtenemos que $1^\circ$ de medidas de longitud $$ 69.172\text{ miles}\times\cos(\text{latitude})\tag{5} $$ a lo largo de un paralelo de latitud.
Distancia en línea recta
La distancia a lo largo de una línea recta que atraviesa la Tierra viene dada por $$ \text{distance}=2\cos(\text{latitude})\sin(\Delta\text{longitude}/2)\tag{6} $$ Observando que para los ángulos pequeños, $\sin(x)\approx x$ para pequeñas distancias, $(6)$ se convierte en $(3)$ .
Distancia paralela en un elipsoide
Aquí vamos a no asumir que la Tierra es una esfera, pero una elipsoide . A menos que se especifique lo contrario, se supone que la latitud es la latitud geodésica que depende de la normal de la superficie y no del vector del centro de la Tierra (latitud geocéntrica). La relación entre la latitud geodésica, $\phi$ y la latitud geocéntrica, $\psi$ es $$ r^2\tan(\phi)=R^2\tan(\psi)\tag{7} $$ donde $R$ y $r$ son los radios ecuatorial y polar. El radio del círculo formado por un paralelo de latitud es $$ \frac{R^2}{\sqrt{R^2+r^2\tan^2(\phi)}}\tag{8} $$ Así, la distancia recorrida caminando hacia el este o hacia el oeste $1^\circ$ en longitud en latitud $\phi$ es $$ \frac\pi{180}\frac{R^2}{\sqrt{R^2+r^2\tan^2(\phi)}}\tag{9} $$ El problema ahora es calcular el radio polar ( $r$ ) de la circunferencia ecuatorial ( $2\pi R$ ) y la circunferencia polar, que viene dada por una integral elíptica que implica $R$ y $r$ $$ \begin{align} &4\int_0^{\pi/2}\sqrt{R^2\sin^2(\theta)+r^2\cos^2(\theta)}\,\mathrm{d}\theta\\[4pt] &=4R\int_0^{\pi/2}\textstyle{\sqrt{1-\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)\cos^2(\theta)}}\,\mathrm{d}\theta\\ &\sim4R\int_0^{\pi/2}\textstyle{\left[1-\frac12\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)\cos^2(\theta)\right]}\,\mathrm{d}\theta\\[4pt] &=2\pi R\textstyle{\left[1-\frac14\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)\right]}\tag{10} \end{align} $$ cuando $r\sim R$ .
Utilizando $2\pi R=24902$ millas y $2\pi R\left[1-\frac14\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)\right]=24860$ millas, obtenemos $$ R=3963.3\text{ miles}\qquad\text{and}\qquad r=3949.9\text{ miles}\tag{11} $$ Utilice $(11)$ en $(9)$ para obtener valores más precisos que $(5)$
Esto es una pista/comentario con fórmulas.
Supongamos que la Tierra es una esfera perfecta: $$x^2+y^2+z^2=R^2.$$ Cortar con el avión $z=c$ y proyectando en el plano $XY$ : $$x^2+y^2=R^2-c^2.$$ Esta circunferencia tiene un radio $\sqrt{R^2-c^2}$ y longitud $2\pi\sqrt{R^2-c^2}$ .
La latitud en $z=c$ se puede deducir tomando $y=0$ : $$x^2+c^2=R^2,$$ $$x=\sqrt{R^2-c^2}.$$ Y latitud $=\arctan(\cdots)$
Generalizar a un elipsoide debería ser fácil.
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