El Grassmannian orientado$\widetilde{\text{Gr}}(k,\mathbb{R}^n)$ está simplemente conectado para$n>2$

Question

Vi este resultado se menciona mucho en muchas referencias, pero siempre es establecido como un hecho o un ejercicio.

Mi enfoque sería para ver las orientadas a la grassmannian como el cociente $$\frac{SO(n)}{(SO(k)\times SO(n-k))},$$ but then I'm unsure how fundamental groups behave under quotient. I've proved that it is a $2$-covering of the classical grassmaniann and I think it should represent its orientation cover (because I read that it is orientable), but proving that it is simply connected would be slightly more and would imply (together with the fact that it is a $2$-revestimiento), los dos hechos.

Alguien puede proporcionarme una solución, una referencia o algunos consejos?

No es un pregunta aquí, pero la respuesta no ofrecer ningún tipo de detalle en el caso que me interesa.

Answer 1

Voy a tratar de llenar algunos de los detalles que faltan, espero que este va a ser suficiente. Deje que los perdidos Grassmanian ser $X = \widetilde{\mathrm{Gr}}(k, \mathbb{R}^n) \cong SO(n) / (SO(k) \times SO(n-k))$. Suponga $0 < k < n$ (de lo contrario no hay mucho para probar). Hay, pues, un haz de fibras $SO(n) \to X$, con fibra $SO(k) \times SO(n-k)$. Desde $SO(n)$ es la ruta de acceso conectado, por lo que es $X$. Este haz de fibras, a continuación, induce un homotopy largo de la secuencia exacta: $$\dots \to \pi_1(SO(k) \times SO(n-k)) \to \pi_1(SO(n)) \to \pi_1(X) \to 1.$$ Uno debe ver que $\pi_1(SO(k) \times SO(n-k)) \to \pi_1(SO(n))$ es surjective para demostrar la afirmación acerca de la $X$. Es suficiente para demostrar que $\pi_1(SO(k)) \to \pi_1(SO(n))$ es surjective al $2 \le k \le n$ (porque si $k = 1$,$n-k = n-1 \ge 2$).

Deje $S^{n-1} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ estándar $n$-esfera, y deje $e_n = (0,\dots,0,1) \in S^{n-1}$ ser el último estándar de la base de vectores. La aplicación $SO(n) \to S^{n-1}$, $A \mapsto A \cdot e_n$, es un haz de fibras. Su fibra $F$ $e_n$ es el subgrupo de $SO(n)$ consta de bloque de matrices del tipo $$\begin{pmatrix} A' & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ donde $A'$ $(n-1) \times (n-1)$ matriz. Este subgrupo es isomorfo a $SO(n-1)$. De esta forma se consigue un homotopy largo de la secuencia exacta asociada a $SO(n-1) \to SO(n) \to S^{n-1}$. Hay dos casos:

• cuando $n \ge 4$, $S^{n-1}$ es 2-conectado, y el LES dice que $\pi_1(SO(n-1)) \to \pi_1(SO(n))$ es un isomorfismo.
• al $n = 3$, hay una breve secuencia exacta $0 \to \mathbb{Z} \to \pi_1(SO(2)) \to \pi_1(SO(3)) \to 0$. En particular, $\pi_1(SO(2)) \to \pi_1(SO(3))$ es surjective. (No necesitamos esto, pero esta breve secuencia exacta es isomorfo a $0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0$).

Por inducción, se encuentra que las $\pi_1(SO(k)) \to \pi_1(SO(n))$ es surjective para $k \ge 2$ (en realidad es un isomorfismo al $k \ge 3$). Volviendo a la largo de la secuencia exacta de los principios, esto implica que $\pi_1(SO(k) \times SO(n-k)) \to \pi_1(SO(n))$ es surjective para$1 \le k \le n$$n \ge 3$, y esto $\pi_1(X) = \pi_1(\widetilde{\mathrm{Gr}}_k(\mathbb{R}^n)) = 0$