Deje que$S$ sea un dominio conmutativo y deje que$k$ sea un subcampo de$S$. Deje que$R:=k[x,y] \subseteq S$ sea el anillo polinomial en dos variables$x,y$ y suponga que por cada$s \in S$ existe un$0 \neq r \in k[x]$ tal que$rs \in R$, es decir,$S \subseteq (k[x] \setminus \{0\})^{-1}R$ . Mi pregunta: ¿$S$ tiene que ser noetheriano? Gracias
Respuesta
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Deje que$p\in k[x]$ sea primo y$T:=\{p^i : i\in\mathbb{N}\}$. Entonces el anillo
$S:=k[x]+T^{-1}k[x][y]y$
no es noetheriano: el subconjunto$I:=T^{-1}k[x][y]y$ es un ideal de$S$. No se genera de manera definitiva, ya que si$f_1,\ldots ,f_r$ fuera un conjunto de generadores, entonces por cada$c\in T^{-1}k[x]$
$cy=\sum\limits_{i=1}^r g_if_i$,$g_i\in S$.
Esto produce que los coeficientes de los monomios de grado$1$ de los polinomios$f_i$ generan$T^{-1}k[x]$ como un módulo$k[x]$ -, lo cual es imposible debido a la elección de$T$.
