Aviso para cualquier función continua $f(x)$$[0,\frac{\pi}{2}]$, tenemos:
$$\lim_{n\to\infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \Big|\sin((2n+1)x)\Big| f(x) dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$$
Aplicar esto a $\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}$, obtenemos
$$\lim_{n\to\infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \Big|\sin((2n+1)x)\Big| \Big(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} \Big) dx
= \frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \Big(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} \Big) dx\\
= \frac{2}{\pi} \left[\log\left(\frac{\tan(\frac{x}{2})}{x}\right)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}
= \frac{2}{\pi} \left[\log\frac{2}{\pi} - \log{\frac12}\right] = \frac{2}{\pi} \log\frac{4}{\pi}
\etiqueta{*1}$$
Así que basta de averiguar el comportamiento asintótico de la siguiente integral:
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{|\sin((2n+1)x)|}{x} dx
= \int_0^{\pi(n+\frac12)} \frac{|\sen x|}{x} dx = \int_0^{\pi n} \frac{|\sen x|}{x} dx + O(\frac{1}{n})
$$
Podemos reescribir el extremo derecho de la integral como
$$\int_0^{\pi} \sin x \Big( \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{x+k\pi} \Big) dx
= \int_0^1 \sin(\pi x) \Big( \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{x+k} \Big) dx\\
= \int_0^1 \sin(\pi x) \Big( \psi(x+n) - \psi(x) \Big) dx
\etiqueta{*2}
$$
donde $\displaystyle \psi(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$ es la
digamma función.
El uso de las siguientes asintótica de expansión de $\psi(x)$ grandes $x$:
$$\psi(x) = \log x - \frac{1}{2x} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta(1-2k)}{x^{2k}}$$
Es fácil comprobar
$$\int_0^1 \sin(\pi x)\psi(x+n) dx = \frac{2}{\pi} \log n + O(\frac{1}{n})\tag{*3}$$.
Sustituto $(*3)$ a $(*2)$ y se combinan con $(*1)$, obtenemos
$$\lim_{n\to\infty} \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left|\frac{\sin((2n+1)x)}{\sin x}\right| dx - \frac{2}{\pi} \log n\right) = \frac{2}{\pi} \log\frac{4}{\pi} - \int_0^1 \sin(\pi x)\psi(x) dx \tag{*4}$$
Para calcular el punto de la derecha integral de $(*4)$, lo primero que integrar por parte:
$$\int_0^1 \sin(\pi x)\psi(x) dx = \int_0^1 \sin(\pi x)\,d\log\Gamma(x) =
-\pi\int_0^1 \cos(\pi x)\log\Gamma(x) dx
$$
A continuación, aplicamos la siguiente resultado$\color{blue}{^{[1]}}$
Kummer (1847) series de Fourier de $\log\Gamma(x)$ $x \in (0,1)$
$$\log\Gamma(x) = \frac12\log\frac{\pi}{\sin(\pi x)} + (\gamma + \log(2\pi))(\frac12 - x) + \frac{1}{\pi}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin(2\pi k x)$$
Aviso
$\displaystyle \int_0^1 \cos(\pi x)\log \frac{\pi}{\sin(\pi x)} dx = 0\quad$ debido a symmtry.
$\displaystyle \int_0^1 \cos(\pi x)\Big(\frac12 - x\Big) dx = \frac{2}{\pi^2}$
$\displaystyle \int_0^1 \cos(\pi x)\sin(2\pi k x) dx = \frac{4k}{(4k^2-1)\pi} $
Podemos evaluar HR de $(*4)$
$$\begin{align}
\text{RHS}_{(*4)} = & \frac{2}{\pi}\log\frac{4}{\pi} + \pi \left[
\Big(\gamma + \log(2\pi)\Big)\frac{2}{\pi^2}
+ \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\log k}{4k^2-1}
\right]\\
= & \frac{2}{\pi}\left[\log 8 + \gamma + \sum_{k=2}^{\infty}\log k \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) \right]\\
= & \frac{6\log 2}{\pi} + \frac{2\gamma}{\pi} + \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}\frac{\log(1+\frac{1}{k})}{2k+1}
\end{align}$$
Notas
$\color{blue}{[1]}$ Para obtener más información acerca de Kummer de la serie de Fourier, por favor consulte
siguientes papel por Donal F. Connon.
