Acerca de la solución de la recurrencia infinita $f(x,f(x,f(x,f(x,f(...))))=a$

Question

En internet he encontrado algunas recreativas problemas como $$3=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}$$ $$\frac{1}{2}=\frac{1}{x+\frac{1}{x+...}}$$ $$2=x^{x^{x^{...}}}$$ And the trick to solve them was just to reuse the equation itself inside the equation, so for example obtaining $3=\sqrt{x+3}$ in the first example above, and so on. But this "trick" reminded me of the well known pseudoparadox we could obtain manipulating divergent series as for example the Bolzano's $$1-1+1-1+1-1+...$$ that setting $S=1-1+1-1+1-1+...$ become $$S=1-1+1-1+1-1+...=1-(1-1+1-1+1-1+...)=1-S$$ and therefore $1-1+1-1+1-1+...=S=1/2$. Obviously the error is in assuming that this series has a precise value, naming it $S$.

Obtenemos otras rarezas por la generalización de las ecuaciones anteriores, de modo que $a=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}$ implicaría $x=a(a-1)$, $a=\frac{1}{x+\frac{1}{x+...}}$ implicaría $x=\frac{1}{a}-a$ $a=x^{x^{x^{...}}}$ implicaría $x=a^{\frac{1}{a}}$, que sería muy extraño identidades de los lotes de los valores de $a$.

Entonces siento la necesidad de mostrar que las ecuaciones anteriores sentido. Creo que la manera más obvia para formalizar ellos fue definir como límites, exempli gratia $$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\underbrace { \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}} }_{n \text{ times} }$$

Luego, tratando de generalizar el problema, queremos estudiar la convergencia de la secuencia de "recursivo" función $$F_0(x)=x \\ F_n(x)=f(x,F_{n-1}(x))$$ For example, we obtain the example at the beginning by respectively setting $f(x,y)=\sqrt{x+{y}}$,$f(x,y)=\frac{1}{x+y}$ and $f(x,y)=x^y$.

En caso de que nos las arreglamos para demostrar la convergencia, la nomenclatura $l$ el límite de la secuencia, tendríamos que $f(x,l)=l$.

He tratado de estudiar la secuencia de $x,x^x,x^{x^x},x^{x^{x^{x}}},...$$x \in (0,1)$; después de notar que a $\underbrace {x^{x^{x^{x}}} }_{2n \text{ times} }\leq \underbrace {x^{x^{x^{x}}} }_{2n+1 \text{ times} }$$\underbrace {x^{x^{x^{x}}} }_{2n+1 \text{ times} }\geq \underbrace {x^{x^{x^{x}}} }_{2n+2 \text{ times} }$, yo sospechaba que de muy pequeño valor, esta sucesión no converge, de alguna manera oscilante... pero yo no era capaz de demostrarlo.

Mis preguntas son:

• Hay algunos relacionados con la teoría acerca de la "infinita ecuaciones" como se describe aquí (es decir, si mi formalización es correcta, la convergencia de las $F_n(x)=f(x,F_{n-1}(x))$)?
• ¿Y el caso especial de $2=x^{x^{x^{...}}}$? Hay una manera de probar o refutar la convergencia de $x\in (0,1)$?

Answer 1

Por su ejemplo $x^{x^\ldots}$ $x \in (0,1)$ la función de $f(y) = x^y$ es la disminución en el $(0,\infty)$ con límites de $1$$0$$y \to 0+$$y \to \infty$, por lo que no hay una única punto fijo $L(x)$. Esto no es $2$ es $-{\frac {{\it LambertW} \left( -\ln \left( x \right) \right) }{\ln \left( x \right) }}$.

Ahora tenemos que investigar la estabilidad. Tenemos $f'(L(x)) = \exp(-LambertW(-\ln(x))) \ln(x)$. Esta es una función creciente en $(0,1)$, y es $-1$ a $x = x_0 \approx 0.06598803585$. Así, por $1 > x > x_0$ el punto fijo estable: desde cualquier punto de partida lo suficientemente cerca como para $L(x)$ la secuencia converge a $L(x)$. De hecho, parece que este será el caso de cualquier punto de partida en $(0,\infty)$. Para $x < x_0$ el punto fijo es inestable, y la secuencia nunca convergen a $L(x)$ menos que suceda a golpear exactamente $L(x)$.

EDIT: Que $x_0 = e^{-e}$. Para este valor, el punto fijo es $1/e$.

Answer 2

Asumir $0<x<1$. Como visto anteriormente, si $x^{x^{x^\cdots}}$ converge en todos, entonces converge a un número $a$ tal que $x^a=a$, que es un deslizamiento del mapa $f\colon (0,1)\to(0,1)$, $y\mapsto x^y = e^{y\ln x}$. Desde $f'(y) = x^y\ln x$, tenemos al menos $|f'(y)|<1$ cuando $\frac1e<x<1$; entonces nos encontramos con un deslizamiento único $a$. Sin embargo, si $0< x<\frac 1 e$ ya no estoy seguro; ¿tal vez uno puede asegurarse de contracción después de unos pasos?