¿Hay una expresión de forma cerrada para la suma de todos los divisores apropiados de un entero?

Question

Ya he encontrado una fórmula de sumación de aquí: http://math.stackexchange.com/a/22723y también muy interesante la fórmula recursiva aquí: http://math.stackexchange.com/a/22744. Cualquier idea sobre cómo reducir cualquiera de estos a una forma cerrada expresión sería muy apreciada.

Edit: Esencialmente, quiero una expresión finita mediante funciones elementales que da la suma de la debida divisores de un entero n en términos de n (y no, el principal de la descomposición).

Answer 1

No es computacionalmente eficiente, al menos. Deje $\sigma(n)$ ser la suma de todos los divisores, el cual se comporta mejor analíticamente, la suma de la debida divisores es sólo $\sigma(n)-n$. Consideremos el caso más simple,$n=pq$,$\sigma(n)=n+p+q+1$. Así que si usted sabe $n$, y puede encontrar $\sigma(n)$ eficiente, a continuación, usted sabe $pq$$p+q$, y el factor de $n$ sólo mediante la resolución de una ecuación cuadrática. Por tanto, la fórmula que desea no se puede hacer mucho mejor que el primer factoring, que se cree para ser un 'duro' problema.

También significaría que usted puede tener una fórmula explícita que le da los factores primos de a $n$ como funciones elementales de $n$ sí, al menos al $n$ sólo tiene dos factores. Ninguna de esas fórmulas es conocido, y es poco probable que exista.