Los ideales invertibles son generados finitamente.

Question

Dejemos que $R$ sea un dominio integral y que $I,J \subseteq R$ sean ideales. Supongamos que $IJ=(a)$ para algunos $a \in R$ . Queremos demostrar que $I$ y $J$ son generados finitamente.

Desde $a \in IJ$ sabemos $a$ puede escribirse como la suma finita de productos de la forma $xy$ , donde $x \in I$ y $y \in J$ . Quiero demostrar que $I$ es generada por estos particulares $x$ (y análogamente $J$ es generada por estos particulares $y$ 's). Pero estoy teniendo algunos problemas y estoy listo para una pista más grande.

Answer 1

Por hipótesis, existen elementos $r_i\in I, s_i\in J,\enspace i=1,\dots, n$ tal que $\displaystyle a=\sum_{i=1}^n r_is_i$ .

Ahora, para cualquier $x\in I$ , uno tiene $\;\displaystyle x=\sum_{i=1}^n r_i\frac{s_i}a x$ . Obsérvese que, como $s_ix\in IJ=(a)$ , $\dfrac{s_ix}a\in R$ para que $x\in (r_1,\dots, r_n)$ .

Por simetría, lo mismo ocurre con $J$ .

Por cierto, también demuestra $I$ y $J$ son proyectiva ideales (Bourbaki, Álgebra , cap. II Álgebra lineal , §2, n°6, prop. 12).

Answer 2

Si $IJ=0$ entonces $I=J=0$ . Por lo demás, $a\ne0$ y luego $a^{-1}IJ=R$ . Así, $1=a^{-1}\sum_{i=1}^na_ib_i$ con $a_i\in I$ y $b_i\in J$ . Demostremos que $I=(a_1,\dots,a_n)$ . Para $x\in I$ tenemos $x=\sum_{i=1}^na_i(a^{-1}xb_i)$ y como $a^{-1}xb_i\in a^{-1}IJ=R$ hemos terminado. (Del mismo modo para $J$ .)