¿Por qué funciona este método para resolver ecuaciones matriciales?

Question

Tengo esta tarea:

Dada:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

$C = \begin {pmatrix} -1 & 2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$

Encuentra todas las B que satisfacen $AB = C$ .

Sé que una opción es decir $B = \left( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right) $ y multiplicarlo por $A$ . Haciendo que cada miembro sea igual al de $C$ Tengo un sistema de ecuaciones lineales que puedo resolver.

Sin embargo, también sé que puedo establecer un sistema como éste:

$$ \left( \begin{array} {cc|cc} 2 & 4 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -6 & 3 \end{array} \right)$$

Si lo manipulo como si fuera un sistema de ecuaciones lineales (por ejemplo, intercambiando filas, o añadiendo un múltiplo de una fila a otra) para obtener la matriz identidad $\left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$ entonces lo que busco (matriz $B$ ) aparecerá en la parte derecha, así:

$$ \left( \begin{array} {cc|cc} 1 & 0 & 7/2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} \right)$$

En este caso, $B = \left( \begin{smallmatrix} 7/2 & -1 \\ -2 & 1\end{smallmatrix} \right)$ .

Mi pregunta es, simplemente, ¿cómo funciona esto? Ahora mismo me parece que es magia.

Answer 1

Quieres una matriz $B$ que satisface $AB = C$ . Es decir, si $A$ es invertible, se puede dejar multiplicar ambos lados por $A^{-1}$ y obtener $B = A^{-1}C$ .

Fíjate en que las operaciones de fila simples son sólo multiplicación por la izquierda de las matrices. Puede que necesites un minuto o dos para convencerte de esto, pero pruébalo: multiplicar por la izquierda una matriz $A$ por $\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&3\end{pmatrix}$ es simplemente multiplicar (fila 2) por 3; a la izquierda multiplicar por $\begin{pmatrix} 1&2 \\ 0&1\end{pmatrix}$ es simplemente sumar 2*(fila 2) a (fila 1). Así que realizando las mismas operaciones de fila a $A$ y $C$ es esencialmente la multiplicación por la izquierda $A$ y $C$ por la misma matriz. Cuando se manipula $A$ hasta que se convierta en la identidad, habrás terminado por multiplicarla por $A^{-1}$ , por lo que la matriz que se obtiene a la derecha es $A^{-1}C$ es decir $B$ .

(De la misma manera, si quisieras resolver $BA = C$ para $B$ , podrías utilizar las operaciones de columna, ya que la multiplicación por la derecha de las matrices es sólo una operación de columna).

Answer 2

Todas las operaciones que se realizan sobre A y C (y sobre las matrices intermedias que se obtienen después de algunas operaciones) hacen que se sustituyan A y C por PA y PC para algunas matrices P. Si al final A se transforma en la matriz identidad Id, esto significa que el producto K de las matrices P utilizadas es tal que KA=Id. Por tanto, K es la inversa de A -1 de A y la matriz que se obtiene a la derecha es KC=A -1 C, según se desee.