Demuestre que$f(z)=Arg (z)$ no es analítico en$D^*$

Question

Define$D^*=\mathbb{C} \backslash \lbrace z \in \mathbb{C}:Re(z) \leq 0, Im(z)=0 \rbrace$. Demuestre que$f(z)=Arg (z)$ no es analítico en$D^*$

Mi prueba es la siguiente:

Dejar $Arg(z)= \theta$. Entonces la función se convierte en$f(r,\theta)=\theta$. Al utilizar la ecuación de CR en forma polar, obtenemos$ru_r=0=v_{\theta}$ y$u_{\theta}=1 \neq 0=-rv_r$. Por lo tanto,$f$ no es diferenciable, lo que implica que no es analítico.

¿Mi prueba es correcta?

Answer 1

Su prueba está bien, pero aquí hay una que no requiere la forma polar de las ecuaciones CR.

$\arg(z)$ es constante en cada línea radial. Si fuera analítica, su derivado tendría que ser cero en cada línea radial. Si los ceros de una función analítica tienen un punto límite, la función debe ser$0$. Esto significa que$\arg(z)$ sería constante, lo cual no es así.

Answer 2

Esta función es de valor real y no constante, por lo que no es analítica.

Esto se debe al hecho de que una función analítica de valor real es constante , lo que a su vez es una implicación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Answer 3

Ese es un método perfectamente bueno. Si puede usar la ecuación CR en forma polar, esa parece ser la forma más rápida y sensata de resolver el problema.