Una superficie de Riemann de tipo finito es una superficie de Riemann compacta finitamente puntuada.
Es fácil encontrar montones de referencias que demuestran que la cohomología de de Rham de una variedad compacta es de dimensión finita; del mismo modo, la cohomología de Dolbeault de una variedad compleja compacta también es de dimensión finita.
Pst 1) ¿Cuál es la forma más sencilla de ver que la cohomología de Dolbeault de una superficie de Riemann de tipo finito es de dimensión finita? (al menos creo que lo es, si no, ¿cuál sería un contraejemplo?)
Qst 1 bis) ¿Cuál es la forma más sencilla de calcular la cohomología de Dolbeault de una superficie de Riemann de tipo finito?
Qst 2) Si $X$ es una variedad compleja compacta y $S \subset X$ es una hipersuperficie analítica cerrada de $X$ ¿es cierto que $X \backslash S$ tiene cohomología de Dolbeault finita?
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- Ahora me doy cuenta de que es falso que $H^{1,0}$ es de dimensión finita en general: por ejemplo, $H^{1,0}(\mathbb C^*) \simeq \Omega(\mathbb C^*)$ contiene el tramo de $\frac{dz}{z^n}$ para todos $n \in \mathbb N$ . Esto es coherente con el hecho de que en ausencia de compacidad, no hay descomposición de Hodge y por tanto $H^{1,0}$ puede ser de dimensión infinita aunque $H^{1}$ no lo es.
Ahora me pregunto $H^{0,1}$ . Por ejemplo, $H^{0,1}(\mathbb C)=0$ mientras que $H^{1,0}(\mathbb C)$ es de dimensión infinita.
Así que supongo que mi nueva pregunta es:
0) ¿He dicho algo incorrecto más arriba?
1) ¿Qué es $h^{0,1}$ para una superficie de Riemann de género $g$ menos $n$ ¿puntos?
