Pregunta sobre la demostración del Teorema de Solovay

Question

En Jech's Teoría de conjuntos tenemos el siguiente comienzo de una demostración del teorema de Solovay (teorema 8.10):

Dejemos que $A$ sea un subconjunto estacionario de $\kappa$ [regular incontable]. [Por el análisis anterior] podemos suponer que el conjunto $W$ de todos $\alpha\in A$ tal que $\alpha$ es un cardenal regular y $A\cap\alpha$ no es estacionaria, es estacionaria. Existe para cada $\alpha\in W$ una secuencia continua creciente $\langle a_\xi^\alpha\mid\xi<\alpha\rangle$ tal que $a_\xi^\alpha\notin W$ para todos $\alpha$ y $\xi$ y $\alpha=\lim_{\xi\to\alpha}a_\xi^\alpha$ .

La prueba continúa mostrando que hay una $\xi$ tal que para cualquier $\eta<\kappa$ el conjunto $\{\alpha\in W\mid a^\alpha_\xi\geq\eta\}$ es estacionaria, logrando una contradicción en la que para ciertos $\gamma,\alpha\in W$ tenemos $\gamma<\alpha$ y $a^\alpha_\gamma=\gamma$ lo que contradice la última frase de la cita anterior.

Entiendo la contradicción, pero no veo por qué podemos estar seguros de la existencia de $\langle a_\xi^\alpha\mid\xi<\alpha\rangle$ tal que $W\cap\{a^\alpha_\xi\mid\xi<\alpha\}=\varnothing$ . Entonces, ¿por qué existe esta secuencia?

Answer 1

Por definición, $A\cap\alpha$ es no estacionario para $\alpha\in W $ , por lo que hay un subconjunto de clubes $C_\alpha$ de $\alpha $ disjunta de $A $ . Por definición, $W\subseteq A $ , por lo que el mismo club $C_\alpha $ obras. El $a^\alpha_\xi $ son la enumeración creciente de $C_\alpha $ .