¿Qué es

Question

$\omega(n)$ es el número de divisores primos distintos de$n$. ¿Cómo averiguar? $$\varlimsup_{n\to\infty} \frac{\omega(n)}{\log n}$ $ o$ \dfrac{\omega(n)}{\log n}$ es convergente, ¿entonces$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\omega(n)}{\log n}=0 $?

Es obvio que$2^{\omega(n)}\leq n$, o

PS

asi que $$\omega(n)\leq \frac{\log n}{\log2} $

Continúe avanzando,$\varlimsup_{n\to\infty} \frac{\omega(n)}{\log n}\leq\frac1{\log 2}$, luego$n\geq7$. asi que

PS

Pienso en este problema después de leer Para mostrar:$\omega(n)\leq \log n $

Answer 1

El mayor valor de esto para cada$\omega(n)$ es el primorial con ese número de factores primos. Con$\theta(x)$ la primera función de Chebyshev, estás preguntando sobre$$ \limsup \frac{\pi(x)}{\theta(x)} \approx \frac{x}{\log x \; \; x} \rightarrow 0. $ $