Subgrupos del grupo de simetrías del pentágono.

Question

El pentágono tiene 5 línea de simetrías y por lo tanto vamos a tener 10 simetrías. Así, tenemos que el grupo G con orden de 10 indican el grupo de simetría de un pentágono.

Un subconjunto $H$ $G$ es un subgrupo $(H, *)$ para el grupo de $(G, *)$ si y sólo si $(H,*)$ es un grupo. Para determinar cuántos subgrupos hay, puedo usar el de Lagrange del teorema que nos dice que los subgrupos de un grupo de orden n tiene un orden m tal que $m | n$.

Por este teorema nos llegan a conocer que el grupo $G$ 5 subgrupos ya que los divisores de m de 10 es $m=1,2,5,10$.

La pregunta es, ¿cómo voy a esbozar el entramado de los subgrupos? Voy a comprobar todos los posibles subconjuntos y, a continuación, comprobar si son subgrupos o hay una manera más rápida?

Sé que el 10 simetrías son el elemento de identidad, de 4 de rotación y 5 reflexiones. Podemos ver estos operación de la transformación de la permutación.

La primera transformación que gira 72 grados son la permutación (ABCDE), 144 grados son la permutación (ABCDE)^2 etc. Esta permutación tiene la orden de 5, ya que si lo hacemos girar 5 veces vamos a obtener la identidad ("el original del pentágono") .

El reflejo de las transformaciones son permutaciones con 2 ciclos de longitud 2.

Pero, ¿cómo sabe que los subgrupos de orden 5 con identidad y 4 rotaciones?

EDITAR

El orden 2 es fácil de determinar. Los subconjuntos $\{i,g\}$ no $g \in G -\{reflections\}$ no son grupos debido a la inversa de g no es en el subconjunto. PERO si g es una de las reflexiones, a continuación, tenemos un grupo, ya que las reflexiones de la orden de 2 lo que significa que el elemento $g$ es el inverso de sí mismo. Esto significa que el subconjunto es un subgrupo debido a que (i) es cerrado y (ii) el inverso es en el subconjunto.

EDIT 2

Puedo pensar de este modo? Nos vamos a un subconjunto ser $$H = \{\text{id},r,r^2,r^3,z\}$$ no r son la rotación y z es la reflexión. Mediante la comprobación de las propiedades de un grupo, podemos ver que las propiedades que cada elemento de H tiene una inversa no se sostiene. el elemento $r$ tiene el inverso $r^4$ que no está en $H$ y por lo tanto el subconjunto $H$ no puede ser un subgrupo. Así, mediante la eliminación de una de las rotaciones y poner una de las reflexiones, vemos que nos están quitando algunos inversos. Así, el único subgrupo de orden 5 son $$K=\{\text{id},r,r^2,r^3,r^4\}$$

Estoy pensando correctamente? O es mejor escribir la tabla del grupo a encontrar los subconjuntos que son subgrupos?

Answer 1

Su pensamiento es más o menos correcto. Generalmente, cuando queremos pensar acerca de los subgrupos de un grupo de $G$, podemos tomar diferentes subconjuntos de a $G$ y un vistazo a lo que los grupos de los subconjuntos de generar.

El obviamente cosa a hacer es empezar con un elemento. Digamos que voy a empezar con una rotación $r^k$ algunos $k = 1, 2, 3, 4$. Desde $5$ es un número primo, los números de $1, 2, 3, 4$ tienen inversos multiplicativos mod $5$. Esto implica que $\langle r^k\rangle$ contiene en realidad $r$. Por lo tanto, $\langle r^k\rangle = \langle r\rangle = \{1, r, r^2, r^3, r^4\}$ por cada $k$. Ahora, digamos que empiezo con una reflexión $z$ lugar. Es fácil ver que $\langle z\rangle = \{1, z\}$. Por lo tanto, tenemos $5$ diferentes subgrupos de orden $2$, uno de cada reflexión. El único caso restante es $\langle 1\rangle = \{1\}$.

Ahora vamos a considerar una generación conjunto con dos elementos. Si tomamos $\langle r^k, r^l\rangle$ algunos $k, l$, esto es claramente $\langle r\rangle$ nuevo. Supongamos que en lugar tomamos $\langle r^k, z\rangle$. Luego de este subgrupo contiene $r$$z$, por lo tanto contiene $r^l z$ por cada $l=0, 1, 2, 3, 4$, es decir que contiene cada reflexión. También contiene los poderes de $r$, que son las rotaciones, por lo tanto $\langle r^k, z\rangle = G$. Por último, podríamos tomar a $\langle z_1, z_2\rangle$, para las dos reflexiones $z_1, z_2$. Pero, a continuación, $z_1 z_2$ es una rotación que se encuentra en $\langle z_1, z_2\rangle$, por lo tanto, por el caso anterior tenemos $\langle z_1, z_2\rangle = G$.

A partir de aquí es fácil ver que hemos encontrado en cada subgrupo de $G$. Obviamente esto tomó mucho menos tiempo que la comprobación de todos los $2^{10}$ subconjuntos de a $G$.