Objetos distinguibles en cajas distinguibles

Question

¿Cuántas maneras hay de distribuir $15$ objetos distinguibles en $5$ cajas distinguibles de manera que las cajas tengan uno, dos, tres, cuatro y cinco objetos en ellas respectivamente?

$\begin{gather} &\_\_\_ &\_\_\_ &\_\_\_ &\_\_\_ &\_\_\_ \\ &1 &2 &3 &4 &5 \end{gather}$

Las líneas representan el $5$ cajas distinguibles y los números de abajo representan cuántos objetos distinguibles debe contener cada caja. Creo que tengo $C\left(15,1\right)$ opciones para la primera casilla entonces $C\left(14,2\right)$ para la segunda caja, hasta $C\left(5,5\right)$ para la quinta caja. Multiplico todas esas combinaciones juntas por la regla del producto y no tengo ni idea de si es la respuesta correcta.

Answer 1

Formas de poner las etiquetas $\{1,2,3,4,5\}$  en las cajas según el número de objetos que contengan: ¡5!. Entonces, como usted presumió correctamente,

$\binom{15}{1}$ formas de seleccionar un objeto para la caja de un objeto;

$\binom{14}{2}$  formas de seleccionar dos objetos para la caja de dos objetos;

$\binom{12}{3}$  formas de seleccionar tres objetos para la caja de tres objetos;

$\binom{9}{4}$ formas de seleccionar cuatro objetos para la caja de cuatro objetos;

$\binom{5}{5}=1$ manera de poner los cinco objetos restantes en la caja de cinco objetos.

Creo que la respuesta es $$5!\binom{15}{1}\binom{14}{2}\binom{12}{3}\binom{9}{4}.$$

Si las etiquetas de las cajas son fijas y no se pueden reasignar (es decir, según cuántos objetos contengan), entonces el término $5!$ debe ser suprimido.