Prueba $\lim_{x\to\infty}x^{\ln(x)} = \infty$

Question

Estoy tratando de probar

$$\lim_{x\to\infty}x^{\ln(x)} = \infty$$

Voy a dividir esto en dos métodos: uno que mencionó mi profesor y mi método (que es donde está la pregunta - ¡salta si debes!). Tened en cuenta que esto no es un deber, sino simplemente un ejercicio que mi profesor decidió hacer durante los apuntes del otro día. El problema está tomado de Stewart 7e Cálculo (#70a en la sección 6.3 si quieres sacar tu (e)-libro).

Método 1:

Recall $\ln(e^x) = x, e^{\ln(x)} = x$ . Así, podemos escribir el límite original como $$\lim_{x\to\infty}\left(e^{\ln(x)}\right)^{\ln(x)} = \lim_{x\to\infty}e^{\left(\ln (x)\right)^2}$$

Luego dejó que $u = \ln(x)$ . Como $x\to\infty$ entonces $u=\ln(x) \to\infty$ . Como $u\to\infty, v = u^2 \to\infty$ . Además, como $v\to\infty, e^v \to\infty$ . Así que, como $x\to\infty, e^{\left(\ln (x)\right)^2} \to\infty$ . Por lo tanto, basta con decir $$\lim_{x\to\infty}x^{\ln(x)} = \infty \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Q.E.D.}$$

Método 2 (mi intento):

Dejemos que $t = \ln x$ . Como $x\to\infty, t\to\infty$ porque el $\ln$ es estrictamente creciente.

$$\lim_{x\to\infty}x^{\ln(x)} \equiv \lim_{t\to\infty}x^t \tag{1}$$

Sin embargo, el último enunciado de la línea (1) tiene sentido matemático ya que el límite es con la variable $t$ Sin embargo, el argumento contiene un $x$ ¿todavía?

Como la línea (1) puede no ser formalmente correcta, decidí intentar escribir $x$ en términos de $t$ . Recordemos que hice la sustitución $t = \ln x \implies e^t = e^{\ln x} = x$ . Así que reescribí el límite como

$$\lim_{t\to\infty}\left(e^t\right)^t$$ que diverge a $\infty$ para valores suficientemente grandes de $t$ .

Como añadido, ¿hay alguna otra prueba "sencilla" para este límite?

Answer 1

Su afirmación (1) no tiene realmente sentido por la razón que cita. Tenga en cuenta también que "converge a $\infty$ " no suele ser correcto; en su lugar se suele decir "diverge a $\infty$ ".

Una prueba sencilla: Obsérvese que para $x\geq e$ tenemos $x^{\ln x}>x$ . Así, $\lim\limits_{x\to\infty} x^{\ln x}\geq \lim\limits_{x\to\infty} x$ que es claramente $\infty$ .

Answer 2

Su $(1)$ no es útil, porque pierde (o al menos oscurece) la relación entre la base y el exponente de la expresión, y esa relación es crucial. Llevar a cabo la sustitución por completo, como hiciste cuando escribiste

$$\lim_{t\to\infty}\left(e^t\right)^t\;,$$

está bien y efectivamente muestra que $\lim_{x\to\infty}x^{\ln x}=\infty$ .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que no es correcto decir que $\lim_{t\to\infty}\left(e^t\right)^t$ converge al infinito para valores suficientemente grandes de $t$ . No es el límite el que converge: es la expresión $\left(e^t\right)^t$ . Pero aún así no habría sido correcto si hubieras dicho que $\left(e^t\right)^t$ converge al infinito para valores suficientemente grandes de $t$ converge al infinito como $t$ aumenta sin límite, o como $t$ tiende al infinito. Cuando decimos esa afirmación $P(t)$ sobre $t$ es cierto para valores suficientemente grandes de $t$ queremos decir que hay un número $t_0$ tal que $P(t)$ es verdadera siempre que $t\ge t_0$ . Pero $\left(e^t\right)^t$ converge al infinito' no es una afirmación sobre números reales específicos $t$ : es una declaración sobre la función $f(t)=\left(e^t\right)^t$ .

Answer 3

¿Qué tal si tomas el registro de tu expresión? Entonces tenemos que $$\lim_{x\to\infty}\ln^2(x)\longrightarrow \infty < \lim_{x\to\infty}x^{\ln(x)} $$ y la conclusión es la siguiente.

Answer 4

Para todos $x$ , $x+1\le e^x$ entonces $x^{\ln(x)} \ge \ln^2(x)+1$ así

$$\lim_{x\to\infty}x^{\ln(x)} \ge \lim_{x\to\infty} \ln^2(x)+1= \infty$$