El valor de la raíz cúbica de a $-i$

Question

Así que esta fue la pregunta que se nos da. $\left(\iota=\sqrt{-1}\right)$

El valor de la(s) $\left(-\iota\right)^{\dfrac{1}{3}}$

(A) $\dfrac{\sqrt{3}-\iota}{2}$

(B) $\dfrac{\sqrt{3}+\iota}{2}$

(C) $\dfrac{-\sqrt{3}-\iota}{4}$

(D) $\dfrac{-\sqrt{3}+\iota}{2}$

Y la respuesta, se dijo, es la opción (a). Estoy de acuerdo con esta opción, puede ser fácilmente obtenido por poner $\left(-\iota\right)$ en forma polar. Pero, mi pregunta es, ¿por qué no podemos reescribir $\left(-\iota\right)$$\iota^{3}$, y, por tanto, decir que el $\left(-\iota\right)^{\dfrac{1}{3}} = \iota$ ?

Answer 1

Tienes razón: $i$ es otra solución de la ecuación de $z^3=-i$. También hay una tercera, $\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}$.

Sin embargo, al ser esta una pregunta de opción múltiple, sus opciones están limitadas a las opciones dadas. Sólo una de las tres raíces, estaba entre las opciones.

Answer 2

La respuesta general puede ser dada como sigue . $i^3=-i$ , por lo que podemos escribir la $x^3=-i$ ahora queremos tres soluciones donde uno es$i$, por lo que para las soluciones que podemos escribir $cos{\frac{2kπ+\theta}{n}}+isin{\frac{2kπ+\theta}{n}}$ donde $k=(0,1..,n-1)$ así que aquí $n=3$ $k=(0,1,2)$ ahora conecte los valores y obtener la respuesta. Aquí $\theta=3π/2 ,n=3$ espero que puedan hacer el resto.

Answer 3

Desde $$-i=0+(-i)=\cos(3\pi/2)+\sin(3\pi/2)i$$ then you'll have one of the below versions for $z$: $$z=\cos\left(\frac{2k\pi+3\pi/2}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi+3\pi/2}{3}\right),~~k=0,1,2$$