Mertens del segundo teorema de los estados que $$\sum_{p \le x} \frac 1p = \log \log x+O(1).$$ Defining $p_x=p_{\lfloor x \rfloor}$ for all real $x \ge 1$, we can replace the sum by the integral $$\int_1^x \frac 1{p_t} \; dt=\log \log x+O(1)$$ and thus $\frac 1{p_x}$ is on the order of $\frac d{dx} \log \log x=\frac 1{x \log x}$, which simplifies to the prime number theorem. This is clearly not a valid proof, but why not? I suspect that it's in the step from the integral to the expression for $\frac 1{p_x}$, pero no veo por que no es válido.
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El teorema de los números primos, como lo demuestran de la Vallée-Poussin, los estados que \[\pi(x) = \sum_{p \leq x} 1 = \mathrm{Li}(x) + O\left(xe^{- \sqrt{\log x}}\right)\] donde \[\mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\log t} \sim \frac{x}{\log x}.\] Mertens' segundo teorema a veces se afirma como \[\sum_{p \leq x}\frac{1}{p} = \log \log x + M + o(1)\] pero el resultado que Mertens demostrado es en realidad un poco más fuerte, a saber, que existe una constante $M$, el Meissel-Mertens constante, de tal manera que \[\sum_{p \leq x}\frac{1}{p} = \log \log x + M + O\left(\frac{1}{\log x}\right).\] Para llegar desde $\sum_{p \leq x} \frac{1}{p}$$\sum_{p \leq x} 1$, uno de los usos parcial de la suma, que es la rigurosa forma de una sustitución de una suma por una integral. Esto indica que si $c_n$ es una serie de números complejos y $f(n)$ es una función derivable, entonces \[\sum_{n \leq x} c_n f(n) = C(x) f(x) - \int_{1}^{x} C(t) f'(t) \, dt,\] donde \[C(x) = \sum_{n \leq x} c_n.\] Así que si $c_n = 1/p$ si $n = p$ es un primer e $0$ lo contrario, y si $f(n) = n$, entonces esto le da \[\sum_{p \leq x} 1 = x \sum_{p \leq x} \frac{1}{p} - \int_{e^2}^{x} \left(\sum_{p \leq t} \frac{1}{p}\right) \, dt + O(1).\] Aquí he cambiado los extremos de la integral en el lado derecho, lo que conduce a un cambio constante. El uso de Mertens' segundo teorema muestra que la integral en el lado derecho es \[\int_{e^2}^{x} \left(\sum_{p \leq t} \frac{1}{p}\right) \, dt = \int_{e^2}^{x} \log \log t \, dt + \int_{e^2}^{x} M \, dx + O\left(\int_{e^2}^{x} \frac{dt}{\log t}\right).\] Usando integración por partes, se puede demostrar que \[\int \log \log x \, dx = x \log \log x - \mathrm{Li}(x) + C,\] y así, la combinación de todo, tenemos \[\sum_{p \leq x} 1 = x \left(\sum_{p \leq x} \frac{1}{x} - \log \log x - M\right) + O(\mathrm{Li}(x)) = O\left(\frac{x}{\log x}\right)\] donde el último paso de la siguiente manera por Mertens' segundo teorema de nuevo. Así que sólo quedan cortos en el primer número teorema. De hecho, si hubiéramos tenido un poco más fuerte declaración de que \[\sum_{p \leq x}\frac{1}{p} = \log \log x + M + o\left(\frac{1}{\log x}\right)\] entonces podemos usar parcial de la suma para demostrar el teorema de los números primos.
